Затухающие колебания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, под действием которых колебания будут затухать. При достаточно малых скоростях движения сила сопротивления пропорциональна скорости ( - коэффициент сопротивления среды):

или в проекции на ось :

Знак минус обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположное направление.

По второму закону Ньютона найдем уравнение затухающих колебаний:

(6)

Решением уравнения движения (6) является функция (закон движения)

(7)

Постоянные и могут быть любыми, в зависимости от начальных условий движения. Отметим, что - это начальная амплитуда; b - коэффициент затухания; - фаза колебания, а - начальная фаза колебания, , где , а . Коэффициент b характеризует скорость затухания колебаний, т.е. уменьшение амплитуды за единицу времени.

Если коэффициент затухания системы очень большой, то может выполниться условие . В этом случае гармонических колебаний не возникнет, а будет наблюдаться апериодическое движение груза.

На рис.4 представлен график зависимости от для затухающих колебаний.

Быстроту затухания в зависимости от числа колебаний характеризуют логарифмическим декрементом затухания. Логарифмический декремент затухания q равен натуральному логарифму отношения двух соседних амплитуд одного знака:

.

Если известна - начальная амплитуда и - амплитуда через периодов (или через полных колебаний), то логарифмический декремент затухания

.

Коэффициент затухания b характеризует затухание колебаний за единицу времени, а логарифмический декремент затухания q - затухание колебаний за период, следовательно:

Контрольные вопросы

1. Каковы необходимые условия для возбуждения гармонических колебаний в механической системе?

2. Чем определяется период, амплитуда и начальная фаза свободных механических гармонических колебаний?

3. При каком условии колебания данного пружинного маятника не будут возбуждаться, движение его будет апериодическим?

4. Каков физический смысл коэффициента упругости пружины?

5. Каков физический коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания? Как они связаны друг с другом?

6. Записать динамические уравнения и законы движения груза на пружине.

7. Получить формулу периода колебаний пружинного маятника.