В радиотехнике гармонические колебания электромагнитных полей обычно бывают высокочастотными. Поэтому их энергетические характеристики чаще всего целесообразно усреднять по времени. Правила усреднения комплексных амплитуд описаны во многих учебниках и приведены, в том числе, в [6].
Результат усреднения можно выразить через комплексные амплитуды. Например, плотности энергии электрического и магнитного полей в формулах (4.15) и (4.16) пропорциональны квадратам напряженностей. С использованием комплексных амплитуд среднюю плотность энергии, запасенной электромагнитным полем, можно описать формулой:
(4.25) |
Среднее значение плотности мощности определяется как действительная часть комплексной плотности мощности:
(4.26) |
где | -плотность комплексной мощности, Вт/м3 |
Аналогично определяется среднее значение вектора Пойнтинга:
(4.27) |
Для того чтобы понять, как соотносятся мгновенные и средние значения энергетических величин, проанализируем формулу (4.26), описывающую плотность мощности. Пусть имеется электрическая составляющая электромагнитного поля, которая описывается следующей формулой:
|
|
(4.28) |
В том же объеме существует ток, сдвинутый по фазе относительно напряженности:
(4.29) |
где | φ – угол сдвига фаз между током и напряжением |
При этих условиях плотность мощности можно вычислить по следующей формуле:
(4.30) |
Важной особенностью полученного результата является наличие в описании плотности мощности двух слагаемых, изменяющихся по разным законам. Первое слагаемое, пропорциональное cos φ, не зависит от времени и равно среднему значению плотности мощности. Второе слагаемое – переменная составляющая плотности мощности, колеблющаяся с удвоенной частотой.
Результаты расчетов по формуле (4.30) при разных сдвигах фаз между током и напряжением приведены на рис. 4.3. Там построены графики зависимости напряженности электрического поля, плотности тока, мгновенной и средней плотности мощности от времени. Если напряженность поля и ток синфазны, то плотность мощности положительна, а ее среднее значение равно половине максимального (рис. 4.3,а).
Рис. 4.3. Мгновенные и средние величины плотности мощности |
При сдвиге фаз между током и напряжением π/4 (рис. 4.3, б) мгновенная плотность мощности некоторую часть периода отрицательна. Среднее значение мощности уменьшилось, но осталось положительным. Переменная составляющая мощности превышает среднюю более чем вдвое. При сдвиге фазы π/2 (рис. 4.3, в)среднее значение мощности равно нулю.
Если сдвиг фаз будет расти и дальше, картина изменения средней мощности повторится с изменением знака (рис. 4.3, г – е). Следовательно, переменная составляющая плотности мощности может как угодно превосходить модуль ее среднего значения. Но модуль среднего значения плотности мощности может достигать лишь половины амплитуды переменной составляющей.
|
|
Для описания среднего баланса энергии гармонического электромагнитного поля в некоторой области V воспользуемся комплексными амплитудами и комплексными проницаемостями. Прилучим:
(4.31) |
В этой формуле за излучение отвечает левая часть, задана плотность комплексной мощности источников (последнее слагаемое в правой части), а электрические и магнитные потери учтены в соответствующих комплексных проницаемостях. Подставим в эту формулу комплексные проницаемости в виде сумм действительной и мнимой частей, выделим действительную и мнимую части результата и проинтегрируем полученные равенства по объему V с границей S. Получим:
(4.32) | |
(4.33) |
где | -комплексная мощность источников, Вт. |
В левой части равенства (4.32) стоит действительная составляющая комплексного потока энергии РΣ – то есть средний поток энергии через поверхность S. Последний член справа дает среднюю мощность источников. Поэтому равенство (4.32) удобно записать в следующем виде:
(4.34) |
Это - уравнение среднего баланса энергиипри гармонических колебаниях.
Пусть источники отдают энергию полю, то есть средняя мощность сторонних источников меньше нуля. Если диэлектрическая и магнитная проницаемости вещественны, то объемный интеграл в формуле (4.32) исчезает. При этом в среднем вся мощность источников будет расходоваться на излучение.
Если же есть потери, то мнимые части проницаемостей будут больше нуля и объемный интеграл в формуле (4.34) будет положительным. Значит, средняя мощность излучения уменьшится на его величину. Из этих рассуждений следует, что объемный интеграл в формуле (4.34), взятый без знака минус, описывает среднюю мощность потерь в объеме V:
(4.35) |
Полученный результат еще раз поясняет смысл мнимых частей комплексных проницаемостей. Если они равны нулю, среда не поглощает энергии. Потери энергии существуют, если мнимые части проницаемостей больше нуля. Эти потери происходят в результате преобразования энергии поля в какие-то иные формы, и, в конечном счете – в тепло.
В простейшем варианте поглощение вызывается только электропроводностью среды. Этот случай встречается в практических задачах чаще всего. Для среды без магнитных потерь равенство (4.35) можно переписать в следующем виде:
(4.36) |
Действительная часть мощности сторонних источников называется активной мощностью, а действительная часть мощности излучения - активным потоком энергии. Мнимые части этих величин называются реактивной мощностью и реактивным потоком энергии. При вещественных диэлектрической и магнитной проницаемостях получаем:
(4.37) |
Отсюда следует, что реактивные составляющие связаны здесь с разностью средних значений электрической и магнитной энергии в объеме V.