Задача о массе стержня

Рассмотрим сначала однородный стержень длины L, имеющий постоянную линейную плотность P. Тогда масса стержня находится по формуле

.

Пусть теперь стержень неоднородный, имеющий длину L и переменную линейную плотность. Выведем формулу для массы такого стержня. Расположим стержень на оси . Начало стержня обозначим точкой , конец стержня в точке . Плотность стержня в точке обозначим . Рассмотрим случай, когда функция непрерывна на отрезке . Разобьем отрезок на конечное число частей точками . Обозначим через массу стержня, соответствующую частичному отрезку разбиения

. Тогда масса стрежня равна сумме масс всех таких его частей . Если части достаточно маленькие, то функция в силу непрерывности не может сильно измениться на отрезке , поэтому на каждом таком отрезке функцию можно считать постоянной, и равной значению в любой точке отрезка. Выберем внутри каждого отрезка точку . Будем считать плотность стержня на отрезке постоянной и равной . Тогда верно приближенное равенство

. Масса всего стержня тогда приблизительно равна

.

Если длину наибольшего из частичных отрезков разбиения устремить к нулю, то приближенное равенство для массы становится точным и верна формула

.