2015-05-05
1115
Пусть функция 
неотрицательна и непрерывна на отрезке 
. Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью 
, слева и справа – прямыми 
и 
(см. рис. 2) вычисляется по формуле
. (5)
Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 
и осью .
Решение. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой 
). Для этого решаем систему уравнений
Получаем: 
, откуда 
, 
; следовательно, 
, 
.
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
(кв. ед.).
Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле
. (6)
В случае если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
|
|
|
. (7)
Рис. 4
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции 
при 
.
Рис. 5
Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей 
и 
. Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему 
Получим 
, 
. Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь 
заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций 
и 
,
а слева и справа – прямыми и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (8)
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений 
находим 
, ; следовательно, 
, 
. На отрезке 
имеем: 
. Значит, в формуле (8) в качестве 
возьмем x, а в качестве 
– 
. Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , 
, 
.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми 
и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой 
на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):
|
|
|
(кв. ед.); 
(кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Рис. 8
|
Рис. 9
В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми 
и 
, осью 
и непрерывной на 
кривой 
(рис. 9), то ее площадь находится по формуле
.
