Однородные функции. Формула Эйлера

Опр. Пусть D Ì Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая вместе с каждой своей точкой (х₁, х₂,…, х_n) и все точки вида (tх₁, tх₂,…, tх_n) при t >0. Функция f(х₁,…, х_n) c такой областью определения D называется однородной степени a, если для любого t >0 выполняется равенство: f (tх₁,…, tх_n)= t^a f (х₁,…, х_n).

Степень однородности a может быть любым действительным числом. Например,

функция является однородной функцией степени 2π от переменных х и у.

Предположим, что дифференцируемая функция f (х, у) является одновременно и и однородной функцией степени a. Фиксируя произвольную точку (х, у) для любого t >0, имеем

f (tх, tу)= t^a f (х, у). Продифференцируем левую и правую части этого равенства по t (левую часть - по правилу диф-я сложной функции, правую часть – как степенную функцию). В результате приходим к тождеству:

f ' _x (tх, tу)х+ f ' _y (tх, tу)y =a t^a-1 f (х, у)

Положив t=1, получим формулу Эйлера:

f ' _x (х, у)х+ f ' _y (х, у)y =a f (х, у)

Аналогично записывается формула Эйлера для однородной функции от

любого числа аргументов. Например, для функции трех переменных она выглядит следующим образом:

f ' _x (х, у,z)х+ f ' _y (х, у,z)y + f ' _z (х, у,z)z =a f (х, у, z) или

и '_x x + и '_y y+ и '_z z=a и (*)

Предположим, что функция и= f (х, у,z) не обращается в 0 в некоторой точке (х₀, у₀,z₀). Разделив тогда левую и правую части равенства (*) на значение функции в этой точке, получим формулу:

Е их + Е иу + Е иz= a

где Е их, Е иу., Е иz – коэффициенты эластичности и по х, по у, по z в точке (х₀, у₀,z₀).