Предположим, что очень жесткое тело А весом Q, деформацией которого можно пренебречь, падая с некоторой высоты H, ударяет по другому телу B, опирающемуся на упругую систему С (рис.15.6). В частном случае это может быть падение груза на конец призматического стержня, другой конец которого закреплен (продольный удар), падение груза на балку, лежащую на опорах (изгибающий удар), и т. п.
Рис.15.6
В течение очень короткого промежутка времени упругая система С испытает некоторую деформацию. Обозначим через перемещение тела В (местной деформацией которого пренебрежем) в направлении удара. В упомянутых частных случаях при продольном ударе за перемещение соответственно нужно считать продольную деформацию стержня , при изгибающем ударе — прогиб балки в ударяемом сечении и т. п. В результате удара в системе С возникнут напряжения ( или — в зависимости от вида деформации).
Полагая, что кинетическая энергия Т ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы, можем написать:
|
|
(15.4)
Так как к моменту окончания деформации ударяющее тело пройдет путь , то его запас энергии будет измеряться произведенной им работой и будет равен:
(15.5)
Вычислим теперь . При статической деформации потенциальная энергия численно равна половине произведения действующей силы на соответствующую деформацию:
(15.6)
Статическая деформация в ударяемом сечении может быть вычислена по закону Гука, который в общем виде можно записать так:
или
Здесь с — некоторый коэффициент пропорциональности (называемый иногда жесткостью системы); он зависит от свойств материала, формы и размеров тела, вида деформации и положения ударяемого сечения. Так, при
простом растяжении или сжатии
, ;
при изгибе балки, шарнирно закрепленной по концам, сосредоточенной
силой Q посредине пролета , .
Таким образом, выражение для энергии может быть переписано так:
В основу этой формулы положены две предпосылки: а) справедливость закона Гука и б) постепенный — от нуля до окончательного значения рост силы Q, напряжений и пропорциональных им деформаций .
Опыты с определением модуля упругости по наблюдениям над упругими колебаниями стержней показывают, что и при динамическом действии нагрузок закон Гука остается в силе, а модуль упругости сохраняет свою величину. Что касается характера нарастания напряжений и деформаций, то и при ударе деформация происходит, хотя и быстро, но не мгновенно; постепенно растет в течение очень короткого промежутка времени от нуля до окончательного значения; параллельно росту деформаций возрастают и напряжения .
|
|
Реакция системы С на действие упавшего груза Q (назовем ее ) является следствием развития деформации ; она растет параллельно от нуля до окончательной максимальной величины и, если напряжения не превосходят предела пропорциональности материала, связана с ней законом Гука:
где с — упомянутый выше коэффициент пропорциональности, сохраняющий свое значение и при ударе.
Таким образом, обе предпосылки для правильности формулы (15.6) принимаются и при ударе. Поэтому можно считать, что вид формулы для при ударе будет тот же, что и при статическом нагружении системы С силой инерции , т. е.
(Здесь учтено, что по предыдущему )
Подставляя значения Т и в уравнение (15.4), получаем:
или
Отсюда
удерживая перед радикалом для определения наибольшей величины деформации системы в направлении удара знак плюс, получаем:
(15.7)
Так как напряжения и усилия по закону Гука пропорциональны деформации, то
(15.8)
(15.9)
Из этих формул видно, что величина динамических деформаций, напряжений и усилий зависит от величины статической деформации, т.е. от жесткости и продольных размеров ударяемого тела; ниже это дополнительно будет показано на отдельных примерах. Величина
(15.10)
в данном случае представляет собой динамический коэффициент.
В случае внезапного приложения груза, когда получаем .
Формула (15.10) используется в случаях, когда масса упругого тела, испытывающего удар, мала и ею в расчете пренебрегают. При необходимости учета массы тела, испытывающего удар, формула для расчета динамического коэффициента принимает вид
(15.11)
где m г – масса падающего груза, m пр – приведенная масса тела, испытывающего удар, причем
(15.12)
где m – истинная (распределенная) масса тела; – коэффициент приведения распределенной массы к точечной. Он определяется путем сравнения кинетической энергии тела с распределенной и с точечной массами. Коэффициент зависит от вида удара (продольный, изгибный и т.п.) и от характера закрепления концов стержня.
Так, для консольной балки, испытывающей продольный удар (рис. 15.7, а), = 0,33; для шарнирно опертой балки на двух опорах, испытывающей удар посередине (рис. 15.7, б), = 17/35 0,5; для консольной балки, испытывающей изгибный удар (рис. 15.8, в), = 33/140 0,235 и т.д.
Рис. 15.7
Заменяя в этой формуле Н на , где — скорость ударяющего тела в начальный момент удара, получаем:
(15.13)
Кроме того, так как
где — энергия ударяющего тела к моменту начала удара, то выражение для динамического коэффициента может быть представлено еще и в таком виде:
(15.14)
Если мы в формулах (15.7) и (15.8) положим , т.е. просто сразу приложим груз Q, то и ; при внезапном приложении силы Q деформации и напряжения вдвое больше, чем при статическом действии той же силы.
Наоборот, если высота падения груза Н (или скорость ) велика по сравнению с деформацией , то в подкоренном выражении формул (15.7) — (15.13) можно пренебречь единицей по сравнению с величиной отношения . Тогда для и получаются следующие выражения:
и (15.15)
При очень большой величине отношения можно пренебречь и единицей, стоящей перед корнем, т.е. написать:
и (15.16)
Динамический коэффициент в этом случае определяется по формуле
(15.17)
Необходимо отметить, что в то время как пренебрежение единицей в подкоренном выражении допустимо уже при (неточность приближенных формул будет не больше 5%). Пренебрежение единицей, стоящей перед корнем, допустимо лишь при очень большой величине отношения .
Так, например, для того чтобы приближенные формулы (15.16) и (15.17) давали погрешность не более 10%, отношение должно быть больше 110.
Формулы и , в которых выражается через , могут быть использованы также для решения задачи о встречном ударе тел, двигающихся с некоторой скоростью, при определении напряжений в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, вызванных резким повышением давления газа при вспышке горючей смеси и др. На этом основании их можно считать общими формулами для расчета на удар.
|
|
Обобщая сказанное выше, можем наметить следующий общий прием решения задач на определение напряжений при ударе. Применяя закон сохранения энергии, надо:
1) вычислить кинетическую энергию ударяющего тела Т;
2) вычислить потенциальную энергию тел, воспринимающих удар, при нагружении их силами инерции при ударе; потенциальная энергия должна быть выражена через напряжение (, ) в каком-либо сечении, через деформацию (удлинение, прогиб) или через силу инерции ударяющего тела;
3) приравнять величины и Т и из полученного уравнения найти или непосредственно динамическое напряжение, или деформацию, а по ней, пользуясь законом Гука, напряжение или силу и соответствующие ей динамические напряжения и деформации.
Описанный общий прием расчета на удар предполагает, что вся кинетическая энергия ударяющего тела целиком переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы. Это предположение не точно. Кинетическая энергия падающего груза частично превращается в тепловую энергию и энергию неупругой деформации основания, на которое опирается система.
Вместе с тем при высоких скоростях удара деформация за время удара не успевает распространиться на весь объем ударяемого тела и в месте удара возникают значительные местные напряжения, иногда превосходящие предел текучести материала. Так, например, при ударе свинцовым молотком по стальной балке большая часть кинетической энергии превращается в энергию местных деформаций. Подобное же явление может иметь место даже и в том случае, когда скорость удара мала, но жесткость или масса ударяемой конструкции велика.
Указанный случай соответствуют большим величинам дроби . Поэтому можно сказать, что описанный выше метод расчета применим, пока дробь не превышает определенной величины. Более точные исследования показывают, что ошибка не превышает 10% если . Так как эта дробь может быть представлена в виде отношения , то можно сказать, что изложенный метод применим, пока энергия удара превышает не более чем в 100 раз потенциальную энергию деформации, соответствующую статической нагрузке конструкции весом ударяющего груза. Учет массы ударяемого тела при ударе позволяет несколько расширить пределы применимости этого метода в тех случаях, когда масса ударяемого тела велика.
|
|
Более точная теория удара излагается в курсах теории упругости.