Динамика точки. Основные понятия и определения

Лекция 1. Динамика точки.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Динамика точки.
2. Основные понятия и определения.
3. Законы динамики.
4. Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки.
5. Дифференциальные уравнения движения точи.
6. План решения второй задачи движения.
7. Движение точки, брошенной под углом к горизонту в однородном поле тяжести.
8. Общие теоремы динамики точки.
9. Количество движения и кинетическая энергия точки.
10. Импульс силы.
11. Теорема об изменении количества движения точки.

Изучение данных вопросов необходимо для динамики движения центра масс механической системы, динамики вращательного движения твердого тела, кинетического момента механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

Динамика точки. Основные понятия и определения.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил.

Движение тел с чисто геометрической точки зрения было изуче­но в кинематике. В динамике, в отличие от кинематики, при изуче­нии движения тел принимают во внимание, как действующие силы, так и инертность самих материальных тел.

Понятие о силе, как о величине, характеризующей меру механи­ческого взаимодействия материальных тел, было введено в статике. Но при этом в статике мы, по существу, считали все силы постоян­ными. Между тем, на движущееся тело наряду с постоян­ными силами (постоянной, например, можно считать силу тяжести) действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются.

Как показывает опыт, переменные силы могут определенным об­разом зависеть от времени, от положения тела и от его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при посте­пенном выключении или включении реостата; от положения тела зависит сила упругости пружины; от скорости движения зависят силы сопро­тивления среды (воды, воздуха).

К понятию об инертности тел мы приходим, сравнивая результаты действия одной и той же силы на разные материальные тела. Опыт показывает, что если одну и ту же силу приложить к двум разным, свободным от других воздействий покоящимся телам, то в общем случае по истечении одного и того же промежутка времени эти тела пройдут разные расстояния и будут иметь разные скорости.

Инертность и представляет собой свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил. Если, например, при действии одина­ковых сил изменение скорости первого тела происходит медленнее, чем второго, то говорят, что первое тело является более инертным, и наоборот.

Количественной мерой инертности данного тела является фи­зическая величина, называемая массой тела. В механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

В общем случае движение тела зависит не только от его суммар­ной массы и приложенных сил; характер движения может еще зави­сеть от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц (т. е. от распределения масс).

Чтобы при первоначальном изучении динамики иметь возможность отвлечься от учета влияния формы тел (распределения масс), вво­дится понятие о материальной точке.

Материальной точкой называют материальное тело (тело, имеющее массу), размерами которого при изучении его движения можно пренебречь.

Практически данное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела при его движении, очень велики по сравнению с размерами самого тела. Кроме того, как будет показано в динамике системы поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Наконец, материальными точками можно считать частицы, на кото­рые мы будем мысленно разбивать любое тело при определении тех или иных его динамических характеристик.

Законы динамики

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений над движением тел и проверенные обширной общественно-исторической практикой человечества. Систематически эти законы были впервые изложены И. Ньютоном.

Первый закон (закон инерции), открытый Галилеем, гласит: изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямо­линейного движения до тех пор, пока приложенные силы не за­ставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точ­кой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи - пребывать неизменно в движении и устанавливает для материальных тел эквивалентность состояний покоя и движения по инерции. Из него следует, что если F=0, то точка покоится или движется с постоян­ной по модулю и направлению скоростью ( =const); ускорение точки при этом равно нулю: = 0); если же движение точки не является равномерным и прямолинейным, то на точку действует сила.

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета (иногда ее условно называют неподвижной). По данным опыта для нашей Сол­нечной системы инерциальной является система отсчета, начало кото­рой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Второй закон (основной закон динамики) гласит: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством .

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость ma = F.

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непо­средственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса кото­рой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействую­щей , равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражаю­щее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

ΣF_K.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между мате­риальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две ма­териальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Заметим, что силы взаимодействия между свободными материаль­ными точками (или телами), как приложенные к разным объектам, не образуют уравновешенной системы. Например, если на гладкой горизонтальной плоскости поместить на некотором расстоянии друг от друга кусок железа и магнит, то при взаимодействии эти тела будут сближаться (а не находиться в покое). При этом, так как дей­ствующие на каждое из тел силы будут по модулю одинаковы, то ускорения тел, согласно второму закону динамики, будут обратно пропорциональны их массам.

Третий закон динамики, как устанавливающий характер взаимодей­ствия материальных частиц, играет большую роль в динамике системы.

Задачи динамики для свободной и несвободной мате­риальной точки.

Для свободной материальной точки задачами дина­мики являются следующие: 1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача динамики); 2) зная дей­ствующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая или основная задача динамики).

Решаются обе эти задачи с помощью уравнений, вы­ражающих основной закон динамики, так как эти уравнения связывают ускорение т. е. величину, характеризующую движение точки, и действующие на нее силы.

В технике часто приходится сталкиваться с изучением несвобод­ного движения точки, т. е. со случаями, когда точка, благодаря на­ложенным на нее связям, вынуждена двигаться по заданной неподвиж­ной поверхности или кривой.

В этих случаях, как и в статике, будем при решении задач исхо­дить из аксиомы связей, согласно которой всякую несвободную ма­териальную точку можно рассматривать как свободную, отбросив связь и заменив ее действие реакцией этой связи . Тогда основной закон динамики для несвободного движения точки примет вид:

m = ΣF_k^a+ ,

где F_K^a - действующие на точку активные силы.

Первая задача динамики для несвободного движения будет обычно сводиться к тому, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию связи.

Пример решения первой задачи динамики: Лифт весом Р (рис. 1) начинает подниматься с ускоре­нием а. Определить натяжение троса.

Рис.1

Рассматривая лифт как свободный, заменяем действие связи (троса) реакцией Т и, составляя уравнение m = ΣF_k^a+ в проекции на вертикаль, получаем:

.

Отсюда находим: .

Если лифт начнёт опускаться с таким же ускорением, то натяжение троса будет равно:

.