Предел сложной функции

f(x) определена на X, g(t) определена на T с областью значений GÌX. Тогда на T определена суперпозиция F(t)=f(g(t)),tÎT. При этих условиях справедлива

Теорема. Пусть

g(t) определена на T= (a,b)\{t0},t0Î (a,b).

f(x) определена на (a,b)\{x0},

"tÎT:g(t)¹x0, если t¹t0,

,

=A.

Тогда

Доказательство: Возьмем e>0 для него $d>0"xÎ :f(x)Î Ue(A), далее, для d существует h>0"tÎ :g(t) Î , если t¹t0, то g(t)¹x0. таким образом, g(t)Î и следовательно f[g(t)]Î Ue(A).

Исследования характера поведения функций

Максимальные и минимальные значения функций (экстремумы)

Опр. Пусть f(x) задана на [a,b] и x0Î(a,b), x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)£ f(x0).

Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)< f(x0). Экстремумы ФНП Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.

Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум. Производная функции, ее геометрический и физический смысл Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Экстремум строгий: в точке строгий локальный минимум или строгий локальный максимум. Это можно сформулировать, как сохранение знака приращения функции f(x) – f(x0) в некоторой проколотой окрестности точки x0.

Теорема. (Необходимый условие экстремума)

Если x0 – точка экстремума функции f и существует f¢(x0), то f¢(x0)=0.