Пусть в области плоскости заданы функция двух переменных , точка , и ненулевой вектор . Будем выбирать переменную точку таким образом, чтобы вектор был сонаправлен с вектором (рис. 21).
Обозначим приращения независимых переменных при переходе от точки к точке через , ; соответст
вующее приращение функции через . Тогда
.
Определение. Пусть стремится к точке таким образом, что вектор остается направленным одинаково с вектором . Если существует конечный предел отношения при , то этот предел называется производной функции по направлению вектора в точке .
Обозначение производной по направлению: . Итак, согласно определению:
.
Замечание. Производная по направлению показывает скорость изменения функции в точке в направлении вектора . В частности производные по направлению базисных ортов равны соответствующим частным производным:
.
Пусть вектор имеет направляющие косинусы , .
Теорема. Пусть функция удовлетворяет двум условиям:
1. В окрестности точки она имеет частные производные .
|
|
2. В самой точке частные производные непрерывны.
Тогда для производной по направлению справедлива формула:
. (24)
Доказательство. Пусть , — приращения независимых переменных, соответствующие переходу от точки к точке . Ввиду непрерывности частных производных для соответствующего приращения функции справедлива формула:
, (25)
где функции и ― бесконечные малые величины при и (п. 6). Деля обе части (25) на , получаем:
. (26)
Поскольку вектор сонаправлен с вектором , то величина , будучи направляющим косинусом вектора , совпадает с направляющим косинусом вектора : . Аналогично .
Равенство (26) теперь принимает вид:
. (27)
Поскольку , , когда , то переходя в (27) к пределу при , получаем на основании свойств предела:
. ▄
Пример. Пусть , , . Вычислим производную по направлению . Находим частные производные:
; ;
; .
Находим направляющие косинусы вектора :
; .
Подставляем найденные значения в формулу (24):
.
Аналогичным образом определяется производная по направлению в случае функции трех или более переменных. Для функции трех переменных формула (24) (в случае непрерывности частных производных) принимает вид:
.