Тест Голдфелда-Квандта гомоскедастичности случайного возмущения в линейной модели множественной регрессии

Одно из требований теоремы Гаусса-Маркова - дисперсия случайной компоненты D() = = const., т.е. предположение о постоянстве дисперсии случайной составляющей для всех наблюдений. Если это условие соблюдается процесс e_t называется гомоскедастичным. Если это не так, то процесс называется гетероскедастичным. Для обнаружения гетероскедастичности используется метод Голдфельда-Квадта. При проведении проверки по этому тесту предполагается, что стандартное отклонение σ случайной составляющей пропорционально значению независимой переменной X _t

Рассмотрим применение данного теста на примере линейной модели множественной регрессии.

Предположим, что на основе проведённого исследования зависимость между переменными можно аппроксимировать линейной моделью множественной регрессии.

В модели множественной регрессии выбирается независимая переменная xik, от которой наиболее вероятно могут зависеть остатки модели ei.

На следующем этапе значения независимой переменной xik ранжируются

располагаются по возрастанию и делятся на равные 2 части.

Для I и II частей строятся две независимые модели регрессии вида:

Для каждой из построенных моделей регрессий рассчитываются суммы квадратов остатков:

Основная гипотеза H0 предполагает постоянство дисперсий случайных ошибок модели регрессии, т. е. присутствие в модели условия гомоскедастичности

Альтернативная гипотеза H1 предполагает непостоянство дисперсиий случайных ошибок в различных наблюдениях, т. е. присутствие в модели условия гетероскедастичности:

Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора.

Критическое значение F-критерия определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора в зависимости от уровня значимости а и двух степеней свободы: k1=nI–l и k2=nI–l, где l – число оцениваемых по данной выборке параметров.

Наблюдаемое значение F-критерия находят по формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл›Fкр ит, то основная гипотеза отвергается, и, следовательно, в модели регрессии присутствует гетероскедастичность, зависящая от переменной xik.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл‹Fкрит, то основная гипотеза принимается, и гетероскедастичность в модели множественной регрессии не зависит от переменной xik.