Определения. Скалярное произведение двух функций f(x) и g(x) в интер­вале определяется как

Скалярное произведение двух функций f(x) и g(x) в интер­вале определяется как

Скалярное произведение функции f(x) на себя, называемое нормой функции f(x), вводится как

(2.7.2)

Функция, норма которой равна единице, называется нормиро­ванной. Нормировка легко достигается делением функции на квадратный корень ее нормы.

Две функции f(x) и g(x) ортогональны относительно весовой функции и(х) в интервале [а, b], если

(2.7.3)

Система функций каждая пара которых

ортогональна в интервале [а,b], называется ортогональной си­стемой. Для этой системы функций имеют место обычные уcловия ортогональности:

(2.7.4)

где

(2.7.5)

коэффициент, зависящий от параметров i и j. Поскольку правая часть уравнения (2.7.4) всегда равна нулю, за исключе­нием случая коэффициент записывают просто в виде При для всех значений система функций называется ортонормированной системой, а соответствующие условия ортонормированности задаются следующим образом:

(2.7.6а)

Множество функций называется ли-

нейно независимым, если не существует коэффициентов не всех равных нулю и таких, что уравнение

(2.7.9)

справедливо для всех х. Все функции, образующие ортогональ­ную систему, линейно независимы.

И наконец, система функций называется полной, если любую кусочно-непрерывную функцию можно в среднем сколь угодно точно аппроксимировать с помощью линейной комбинации функ­ций, входящих в данную систему.