Тема Использование свойств элементарных функций при решении уравнений и неравенств.
(Использованы материалы лекций, составленных Ананченко К.О.)
Цель: изучить вопрос об использовании различных свойств функций y = f(x) и y = g(x) при решении уравнений вида f(x) = g(x).
Содержание лекции:
Использование областей определения функций.
Использование множества значений функции.
Исследование промежутков знакопостоянства функции.
Использование промежутков монотонности функций.
Использование свойств четности и нечетности функций.
Использование ограниченности функций.
Использование графика функции.
Использование областей определения функций.
Напомним, что областью определения уравнения f(x) = g(x) называют множество всех значений переменной x, при которых одновременно определены функции y = f(x) и y = g(x).
При работе с областью определения уравнения важно иметь в виду следующие утверждения:
1) если значение переменной x0 принадлежит области определения уравнения и при подстановке в него вместо переменной x обращает его в верное числовое равенство, то x0 — корень данного уравнения;
|
|
2) если значение переменной х0 не принадлежит области определения уравнения, то число х0 не является корнем уравнения;
3) если область определения уравнения — пустое множество, то уравнение корней не имеет.
Пример. Решить уравнение.
Решение. Найдем область определения этого уравнения:
то есть
Эта система неравенств решений не имеет, значит, областью определения уравнения является пустое множество. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Ответ: решений нет.
В некоторых случаях область определения уравнения — конечное множество, состоящее из небольшого количество элементов. В этом случае можно найти все корни уравнения непосредственной подстановкой этих чисел в уравнение.
Пример 2. Решить уравнение.
Решение. Найдем область определения уравнения:
откуда x = 1.
Поскольку область данного уравнения состоит из одного числа 1, то проверим, является ли это число корнем уравнения: — верное числовое равенство. Значит, число 1 — корень данного уравнения.
Ответ: 1.