Метод Гаусса является прямым методом решения систем линейных уравнений. Он наиболее универсален. Ограничений, кроме равенства нулю определителя матрицы А, практическине имеет. При определителе, близком к нулю, мы можем получить плохо обусловленную систему (см. главу 1).
Алгоритм метода состоит из двух этапов [5]. Первый называется прямым ходом. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений, начиная с х1.
Из первого уравнения системы (3.1) выражаем неизвестное х1.
, (3.6),
где ,
что возможно при , в противном случае надо осуществить перестановку уравнений системы. Согласно формуле (3.6), необходимо каждый элемент первой строки расширенной матрицы поделить на диагональный элемент:
. (3.7)
Затем подставляем выражение (3.6) во все остальные уравнения системы, тем самым исключаем х1 из всех уравнений, кроме первого. Элементы расширенной матрицы преобразуем по формуле:
, , . (3.8)
B результате исключения первого неизвестного х1 из всех уравнений все элементы первого столбца преобразованной матрицы будут равны нулю, кроме а11(1)= 1.
Неизвестное х2 выразим из второго уравнения системы и исключим из остальных уравнений и т.д. В результате получим систему с верхней треугольной матрицей, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
Запишем выражения для неизвестных хk и преобразования элементов расширенной матрицы системы, которые обобщают
формулы (3.6) - (3.8):
(3.9)
Второй этап решения называется обратным ходом метода Гаусса и состоит в последовательном определении неизвестных хk по первой формуле (3.9), начиная с неизвестного xn и заканчивая x1.
Точность результатов определяется точностью выполнения арифметических операций при преобразовании матрицы А. Для уменьшения погрешности при делении на диагональный элемент (вторая формула (3.9)) осуществляют перестановку уравнений с целью постановки на диагональ наибольшего по модулю из всех элементов данного столбца. Это называется выбором главного элемента столбца.
Количество арифметических операций в методе Гаусса зависит от размерности системы и примерно равно 2/3n3 [1]. Контроль полученных решений можно провести путем их подстановки в исходную систему и вычисления невязок между правыми и левыми частями уравнения:
. (3.10)