Критерий Колмогорова

Критерий Колмогорова для простой гипотезы является наиболее простым критерием проверки гипотезы о виде закона распределения. Он связывает эмпирическую функцию распределения непрерывной случайной величины .

Пусть конкретная выборка из распределения с неизвестной непрерывной функцией распределения и эмпирическая функция распределения. Выдвигается простая гипотеза : (альтернативная ).

Сущность критерия Колмагорова состоит в том, что вводят в рассмотрение функцию

называемой статистикой Колмогорова, представляющей собой максимальное отклонение эмпирической функции распределения от гипотетической (т.е. соответствующей теоретической) функции распределения .

Колмагоров доказал, что при закон распределения случайной величины независимо от вида распределения случайной величины стремится к закону распределения Колмагорова:

где функция распределения Колмагорова, для которой составлена таблица, ее можно использовать для расчетов уже при

	0.1	0.05	0.02	0.01	0.001
	1.224	1.358	1.520	1.627	1.950

Найдем такое, что .

Рассмотрим уравнение С помощью функции Колмогорова найдем корень этого уравнения. Тогда по теореме Колмогорова, , , откуда

Если , то гипотезу нет оснований отвергать; в противном случае – ее отвергают.

2.1.3 Критерий Шапиро-Уилка

Критерий Шапиро-Уилка используется для проверки гипотезы : «случайная величина распределена нормально» и является одним наиболее эффективных критериев проверки нормальности. Критерии, проверяющие нормальность выборки, являются частным случаем критериев согласия. Если выборка нормальна, можно далее применять мощные параметрические критерии, например, критерий Фишера.

Описание критерия

Критерий Шапиро-Уилка основан на оптимальной линейной несмещённой оценке дисперсии к её обычной оценке методом максимального правдоподобия. Статистика критерия имеет вид:

где

Числитель является квадратом оценки среднеквадратического отклонения Ллойда.

Коэффициенты берутся из таблиц. Ниже приведена таблица для небольших значений n и i.

Коэффициенты

Критические значения статистики также находятся таблично.

Если , то нулевая гипотеза о нормальности распределения отклоняется при уровне значимости Приближённая вероятность получения эмпирического значения при вычисляется по формуле

где — табличные коэффициенты.

Критерий Шапиро-Уилка является очень мощным критерием для проверки нормальности, но, к сожалению, имеет ограниченную применимость. При больших значениях таблицы коэффициентов становятся неудобными.