Примеры решения задач. Пример 1. Положительные заряды Q1=3 мкКл и Q2=20 нКл находятся в вакууме на расстоянии r1=l,5 м друг от друга

Пример 1. Положительные заряды Q₁ =3 мкКл и Q₂ =20 нКл находятся в вакууме на расстоянии r₁ =l,5 м друг от друга. Определить работу A, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r₂ =1 м.

Решен и е. Положим, что первый заряд Q₁ остается неподвижным, а второй Q₂ под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом Q₁, приближаясь к нему с расстояния r₁ =t,5 м до r₂ =1 м.

Работа А' внешней силы по перемещению заряда Q из однойточки поля с потенциалом j ₁ в другую, потенциал которой j ₂, равна по модулю и противоположна по знаку работе А сил поля по перемещению заряда между теми же точками:

А'= —А.

Работа А сил поля по перемещению заряда A = Q (j ₁ —j ₂). Тогда работа А' внешних сил может быть записана в виде

A' = – Q (j ₁ —j ₂)= Q (j ₂ — j₁). (1)

Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами

; .

Подставляя выражения j ₁ и j ₂ в формулу (1) и учитывая, что для данного случая переносимый заряд Q = Q₂, получим

. (2)

Если учесть, что 1/(4pe ₀)=9×10 ⁹ м/Ф, то после подстановки значений величин в формулу (2) и вычисления найдем

A '=180 мкДж.

Пример 2. Найти работу А поля по перемещению заряда Q =10 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.1), находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью s=0,4 мкКл/м ² бесконечными параллельными плоскостями, расстояние l между которыми равно 3 см.

Решение. Возможны два способа решения задачи.

1-й способ. Работу сил поля по перемещению заряда Q из точки 1 поля с потенциалом j ₁ в точку 2 поля с потенциалом j ₂ найдем по формуле

A = Q (j ₁ —j ₂). (1)

Для определения потенциалов в точках 1 и 2 проведем через эти точки эквипотенциальные поверхности I и II. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо соотношение

j ₁ —j ₂ = El, (2)

где Е — напряженность поля; l — расстояние между эквипотенциальными поверхностями.

Напряженность поля между параллельными бесконечными разноименно заряженными плоскостями E =s/e ₀. Подставив это выражение Е в формулу (2) и затем выражение j ₁ —j ₂ в формулу (1), получим

A=Q(s/e₀)l.

2-й способ. Так как поле однородно, то сила, действующая на заряд Q, при его перемещении постоянна. Поэтому работу перемещения заряда из точки 1 в точку 2 можно подсчитать по формуле

A =F Dr cosa, (3)

где F — сила, действующая на заряд; D r — модуль перемещения заряда Q из точки 1 в точку 2; a — угол между направлениями перемещения и силы. Но F=QE=Q(s/e₀). Подставив это выражение F в равенство (3), а также заметив, что D r cosa= l, получим

A = Q (s/e ₀) l. (4)

Таким образом, оба решения приводят к одному и тому же результату.

Подставив в выражение (4) значение величин Q, s, e ₀ и l, найдем

A =13,6 мкДж.

Пример 3. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью t=10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал j электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось у была симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 15.2). На нити выделим элемент длины d l. Заряд d Q =td l, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность d E поля, создаваемого зарядом d Q:

,

где r —радиус-вектор, направленный от элемента d l к точке, напряженность в которой вычисляется. Выразим вектор d E через проекции dE_x c и dE_y на оси координат:

,

где i и j — единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием:

.

Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симметрии интеграл равен нулю. Тогда

, (1)

где . Так как r = R =const и d l = R dJ. то

Подставим найденное выражение dE_y в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до p/3, а результат удвоим;

.

Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3l= 2p r), получим

.

Из этой формулы видно, что вектор Е совпадает с положительным направлением оси Оу Подставив значение t и l в последнюю формулу и сделав вычисления, найдем

E =2,18 кВ/м.

Определим потенциал электрического поля в точке О. Найдем сначала потенциал dj, создаваемый точечным зарядом d Q в точке О:

Заменим r на R и произведем интегрирование:

.Так как l=2pR/3, то

j=t/(6e ₀).

Произведя вычисления по этой формуле, получим

j=188 В.

Пример 4. Электрическое поле создана длинным цилиндром радиусом R= 1см, равномерно заряженным с линейной плотностью t=20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях a₁ =0,5 см и а₂ =2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала Е = —gradj. Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

Е= –( dj/d r), или dj= — Е d r.

Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на r₁ и r₂ от оси цилиндра;

. (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой . Подставив это выражение Е в равенство (1), получим

(2)

Так как величины r₂ и r₁ входят в формулу в виде отношения, то их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах:

r₁=R+a₁= 1,5 см; r₂ = R + a₂ =3см.

Подставив значения величия t, e ₀, r₁ и r₂ в формулу (2) и вычислив, найдем

j ₁ —j ₂ =250 В.

Пример 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд t=0,1 мкКл/м. Определить потенциал j поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.

Решение. Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственно применить для вычисления потенциала формулу

, (1)

справедливую только для точечных зарядов, нельзя. Но если разбить стержень на элементарные отрезки d l, то заряд td l, находящийся на каждом из них, можно рассматривать как точечный и тогда формула (1) будет справедлива. Применив эту формулу, получим

, (2)

где r — расстояние точки, в которой определяется потенциал, до элемента стержня.

Из рис. 15.3 следует, что d l =(r da/cosa). Подставив это выражение d l в формулу (2), найдем .

Интегрируя полученное выражение в пределах от a ₁ да a ₂, получим потенциал, создаваемый всем зарядом, распределенным на стержне: .

В силу симметрии расположения точки А относительно концов стержня имеем a ₂ =a ₁ и поэтому .

Следовательно,

.Так как

Рис 15.3

(см. табл. 2), то .

Подставляя пределы интегрирования, получим

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

j=990 В.

Пример 6. Электрон со скоростью v=1,83×10⁶ м/с влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы обладать энергией E_i =13,6 эВ*? (Обладая такой энергией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ называется энергией ионизации водорода.)

Решение. Электрон должен пройти такую разность потенциалов U, чтобы приобретенная при этом энергия W в сумме с кинетической энергией T, которой обладал электрон перед вхождением в поле, составила энергию, равную энергии ионизации E_i, т. е. W+T=E_i. Выразив в этой формуле W=eU и Т =(m v ² /2), получим eU +(m v ² /2)= E_i. Отсюда .

___________________

* Электрон-вольт (эВ) — энергия, которую приобретает частица, имеющая заряд, равный заряду электрона, прошедшая разность потенциалов 1 В. Эта внесистемная единица энергии в настоящее время допущена к применению в физике.

Произведем вычисления в единицах СИ:

U=4,15 В.

Пример 7. Определить начальную скорость υ ₀сближения про­тонов, нахо­дя­щихся на достаточно большом расстоянии друг от друга, если минимальное расстояние r _min, на которое они могут сблизиться, равно 10^-11 см.

Р е ш е н и е. Между двумя протонами действуют силы оттал­кивания, вслед­ствие чего движение протонов будет замедленным. Поэтому задачу можно ре­шить как в инерциальной системе коор­динат (связанной с центром масс двух протонов), так и в неинер­циальной (связанной с одним из ускоренно движу­щихся протонов). Во втором случае законы Ньютона не имеют места. Примене­ние же принципа Даламбера затруднительно из-за того, что ускорение системы будет переменным. Поэтому удобно рассмотреть задачу в инерциальной сис­теме отсчета.

Поместим начало координат в центр масс двух протонов. По­скольку мы имеем дело с одинаковыми частицами, то центр масс будет находиться в точке, делящей пополам отрезок, соединяющий частицы. Относительно центра масс частицы будут иметь в любой момент времени одинаковые по модулю скоро­сти. Когда частицы находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга, скорость υ ₁каждой частицы равна половине υ ₀, т. е. υ ₁ =υ ₀ /2.

Для решения задачи применим закон сохранения энергии, со­гласно кото­рому полная механическая энергия Е изолированной системы постоянна, т. е.

Е=Т+ П,

где Т - сумма кинетических энергий обоих протонов относительно центра масс; П - потенциальная энергия системы зарядов.

Выразим потенциальную энергию в начальный П₁ и конечный П₂ моменты движения.

В начальный момент, согласно условию задачи, протоны нахо­дились на большом расстоянии, поэтому потенциальной энергией можно пренебречь (П₁=0). Следовательно, для начального момента полная энергия будет равна кинетической энергии T ₁протонов, т. е.

E=T _l. (1)

В конечный момент, когда протоны максимально сблизятся, скорость и кинети­ческая энергия равны нулю, а полная энергия будет равна потенциальной энер­гии П₂, т. е.

Е= П₂. (2)

Прирав­няв правые части равенств (1) и (2), получим

T₁=П₂. (3)

Кинети­ческая энергия равна сумме кинетических энергий про­тонов:

(4)

Потенциальная энергия системы двух зарядов Q ₁ и Q ₂, находя­щихся в вакууме, определяется по формуле , где r - расстоя­ние между зарядами. Воспользовавшись этой формулой, полу­чим

(5)

С учетом равенств (4) и (5) формула (3) примет вид

откуда

Выполнив вычисления по полученной формуле, найдем υ ₀ =2,35 Мм/с.

Пример 8. Электрон без на­чальной скорости прошел разность потен­циалов U ₀ =10 кВ и влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора, заряжен­ного до разности потенциалов U _l=100 В, по ли­нии АВ, парал­лельной пластинам (рис. 15.4). Рас­стояние d между пла­стинами равно 2 см. Длина l ₁ ­пластин конденсатора в нап­равлении по­лета элек­трона, равна 20 cм. Определить рас­стояние ВС на экране Р, от­стоящем от конденсатора на l ₂=1 м.

Р е ш е н и е. Движение электрона внутри конденсато­ра складыва­ется из двух дви­жений: 1) по инерции вдоль линии АВ с постоянной скоро­стью υ ₀, приобретенной под действием разности потенциалов U ₀, кото­рую электрон прошел до конденсатора; 2) равномерно ускоренного дви­жения в вертикальном направлении к положительно заряженной пла­стине под действием постоянной силы поля конденсатора. По вы­ходе из конденсатора электрон будет двигаться равномерно со скоро­стью υ, которую он имел в точке М в момент вылета из кон­денсатора.

Из рис. 15.4 видно, что искомое расстояние | BC|=h ₁ +h ₂, где с h ₁ - рас­стояние, на которое сместится электрон в вертикальном направлении во время движения в конденсаторе; h ₂- расстояние между точкой D на эк­ране, в которую электрон попал бы, двигаясь по выходе из конденса­тора по направлению начальной скорости υ ₀, и точкой С, в которую электрон попадет в действительности.

Выразим отдельно h ₁ и h ₂. Пользуясь формулой длины пути равно­мерно ускоренного движе­ния, найдем

. (1)

где а - ускорение, полученное электроном под действием поля конден­сатора; t- время полета электрона внутри конденсатора.

По второму закону Ньютона a=F/m, где F - сила, с которой поле дей­ствует на электрон; т- его масса. В свою очередь, F =eE=eU ₁ /d, где е - заряд электрона; U ₁ - разность потенциалов между пластинами конден­сатора; d - расстояние между ними. Время полета электрона внутри конденсатора найдем из фор­мулы пути равномерного движения , откуда

где l ₁- длина конденсатора в направлении полета электрона. Выраже­ние скорости найдем из условия равенства работы, совер­шенной полем при перемещении электрона, и приобретенной им кинетической энер­гии: . Отсюда

(2)

Подставляя в формулу (1) последовательно значения а, F, t и υ ₀²из со­ответствующих выражений, получим

Длину отрезка h ₂найдем из подобия треугольников MDC и век­тор­ного:

(3)

где υ ₁ - скорость электрона в вертикальном направлении в точке М; l ₂- расстояние от конденсатора до экрана.

Скорость υ ₁ найдем по формуле υ ₁ =at, которая с учетом выра­жений для а, F и t примет вид

Подставив выражение υ ₁ в формулу (3), получим , или, заменив υ ₀² по формуле (3), найдем

Окончательно для искомого расстояния | BC | будем иметь

| BC|= ­

­Подставив значения величин U ₁, U ₀, d, l ₁ и l ₂ в последнее выражение и произведя вычисления, получим | BC |=5,5cм.

Задачи

Потенциальная энергия и потенциал поля точечных зарядов

15.1. Точечный заряд Q = 10 нКл, находясь в некоторой точке поля, обладает потенциальной энергией П = 10 мкДж. Найти потенциал φ этой точки поля.

5.2. При перемещении заряда Q=20 нКл между двумя точками поля внеш­ними силами была совершена работа А=4 мкДж. Определить работу A ₁сил поля и разность Δφ потенциалов этих точек поля.

15.3. Электрическое поле создано точечным положительным заря­дом Q ₁=6 нКл. Положительный заряд Q ₂ переносится из точки А этого поля в точку В (рис. 15.5). Каково изменение потенциаль­ной энергии ΔП, приходящееся на единицу переносимого заряда, если r ₁=20 см и r ₂=50 см?

15.4. Электриче­ское поле создано точечным зарядом Q _l=50 нКл. Не пользуясь понятием потенциала, вычислить работу А

внешних сил по пе­ремещению точечного заряда Q ₂= -2 нКл из точки С в точку В

(рис. 15.6), если r ₁ =10 см, r ₂=20 см. Определить также измене­ние ΔП потенциальной энергии сис­темы зарядов.

15.5. Поле создано точечным зарядом Q =1 нКл. Определить потен­циал φ поля в точке, удаленной от заряда на расстояние r =20 см.

15.6. Определить потенциал φ электрического поля в точке,,удаленной от зарядов Q ₁ = -0,2 мкКл и Q ₂ =0,5 мкКл соответственно на r ₁ =15 см и r ₂=25 см. Определить также минимальное и мак­симальное расстояния между зарядами, при которых возможно решение.

15.7. Заряды Q ₁=1 мкКл и Q ₂ = -1 мкКл находятся на рас­стоянии d =10 см. Определить напряженность Е и потенциал φ поля в точке, уда­ленной на рас­стояние r= 10 см от первого заряда и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпенди­кулярно направлению от Q ₁ к Q ₂.

15.8. Вычислить потенциальную энергию П системы двух точеч­ных зарядов Q ₁=100 нКл и Q ₂ =10 нКл, находящихся на рас­стоянии d =10 см друг от друга.

15.9. Найти потенциальную энергию П системы трех точечных за­рядов Q ₁=10 нКл, Q ₂ =20 нКл и Q ₃= -30 нКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной a =10 см.

15.10. Какова потенциальная энергия П системы четырех одинако­вых то­чечных зарядов Q =10 нКл, расположенных в верши­нах квадрата со стороной дли­ной а =10 см?.

15.11. Определить потенциальную энергию П системы четырех то­чечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной дли­ной a =10 см. За­ряды одинаковы по модулю Q =10 нКл,но два из них отрицательны. Рассмотреть два возможных случая расположения зарядов.

15.12. Поле создано двумя точечными зарядами + 2 Q и -Q, находящимися на расстоянии d =12 см друг от друга. Определить геометрическое место точек на плоскости, для которых потенциал равен нулю (написать уравнение линии нулевого потенциала).

5.13. Система состоит из трех зарядов - двух одинаковых по величине Q ₁ = | Q ₂|=1 мкКл и противоположных по знаку и заряда Q=20 нКл, расположенного точке 1 посередине между двумя другими зарядами системы (рис. 15.7). Определить изменение потенциальной энергии ΔП системы при переносе заряда Q из точ­ки 1 в точку 2. Эти точки удалены от отрицательного заряда Q ₁ на расстояние а= 0,2м.

Потенциал поля линейно распределенных зарядов

15.14. По тонкому кольцу радиусом R= 10см равномерно рас­пределен заряд с линейной плотностью τ= 10 нКл/м. Определить потенциал φ в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянии а= 5 см от центра.

15.15. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно рас­пределен заряд с линейной плотностью τ=10 нКл/м. Вычислить потенциал φ, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.

15.16. Тонкий стержень длиной l=10 см несет равномерно распределенный заряд Q = 1 нКл. Определить потенциал τ электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии а =20 см от ближайшего его конца.

15.17. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной а. Стержни заряжены с линейной плотностью τ= 1,33 нКл/м. Найти потенциал φ в центре квадрата.

15.18. Бесконечно длинная тонкая прямая нить несет равно­мерно распределенный по длине нити заряд с линейной плотно­стью τ=0,01 мкКл/м. Определить разность потенциалов Δφ двух точек поля, удаленных от нити на r ₁=2 СМ и r ₂==4 см.

Потенциал поля зарядов,

распределенных по поверхности

15.19. Тонкая круглая пластина несет равномерно распреде­ленный по плоскости заряд Q = 1 нКл. Радиус R пластины равен 5 см. Определить потенциал φ электрического поля в двух точках:

1) в центре пластины; 2) в точке, лежащей на оси, перпендикулярной плоскости пластины и отстоящей от центра пластины на а =5см.

15.20. Имеются две концентрические металлические сферы ра­диусами R ₁ =3 см и R ₂ =6 см. Пространство между сферами запол­нено парафи­ном. Заряд Q ₁ внутренней сферы равен -1 нКл, внеш­ний Q ₂ = 2 нКл. Найти потенциал φ электри­ческого поля на рас­стоянии: 1) r ₁=1 см; 2) r ₂=5 см; 3) r ₃=9 см от центра сфер.

15.21. Металлический шар радиусом R= 5см несет заряд Q =1 нКл. Шар ок­ружен слоем эбонита толщиной d= 2 см. Вычис­лить потенциал φ электрического поля на расстоянии: 1) r ₁=3 см; 2) r ₂=6 см; 3) r ₃=9 см от центра шара. Поcтроить график зависи­мости φ(r).

15.22. Металлический шар радиусом R ₁=10cм заряжен до по­тенциала φ₁=300 В. Определить потенциал φ₂ этого шара в двух случаях: 1) после того, как его окружат сферической проводящей оболочкой радиусом R ₂ =15 см и на ко­роткое время соединят с ней проводником; 2) если его окружить сферической проводящей за­земленной оболочкой с R ₂= 15 см?

15.23. Заряд распределен равномерно по бесконечной плоскости с по­верхно­стной плотностью σ = 10 нКл/м2. Определить; разность потен­циалов Δφдвух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от плоско­сти на расстояние d =10 см.

15.24. Определить потенциал φ, до которого можно зарядить уединен­ный металлический шар радиусом R =10 см, если напря­женность Е поля, при- которой происходит пробой воздуха, равна 3 МВ/м. Найти также максимальную поверх­ностную плотность σ электрических зарядов пе­ред пробоем.

15.25. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на рас­стоянии d= 0,5см друг от друга. На плоскостях равномерно распреде­лены заряды с по­верхностными плотностями σ ₁ =0,2мкKл/M и σ₂= -0,3 мкКл/м². Определить разность потенциалов U между плоскостями.

15.26. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на рас­стоянии d= 1 см друг от друга. Плоскости несут равномерно рас­преде­ленные по поверхно­стям заряды с плотностями σ₁ = 0,2мкКл/м² и σ₂ = 0,5мкКл/м², Найти разность потенциалов U пластин.

15.27. Металлический шарик диаметром d= 2см заряжен от­рица­тельно до потенциала φ= 150 В. Сколько электронов находится на по­верхности шарика?

15.28. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенци­ала φ=20 В, сливаются в одну каплю. Каков потенциал φ₁ образовав­шейся капли?

15.29. Две круглые металлические пластины радиусом R= 10 см каж­дая, за­ряженные разноименно, расположены одна против дру­гой параллельно друг другу и притягиваются с силой F=2мН. Расстояние d между пластинами 1 см. Определить разность потенциалов между пластинами.

15.30. Электрическое поле создано бесконечно длинным равномерно заряженным (σ = 0,1мкКл/м²) цилиндром радиусом R= 5см. Определить изменение ΔП потенциальной энергии однозарядного положительного иона при перемещении его из точки 1 в точку 2 (рис. 15.8).

15.31. Электрическое поле создано отри­цательно заряженным метал­лическим шаром. Определить работу A ₁,₂внешних сил по перемещению заряда Q=40 нКл из точки 1 с, потенциалом φ₁ = -300 В в точку 2 (рис. 15.9).

Потенциал поля зарядов, распределенных по объему

15.32. Плоская стеклянная пластинка толщиной d= 2см заря­жена рав­номерно с объемной плотностью ρ=10 мкКл/м³. Найти разность потен­циалов Δφ между точкой, лежащей на поверхности пластины, и точкой, находящейся внутри пластины в ее середине. Считать, что размеры пла­стины велики по сравнению с ее толщиной.

15.33. Сплошной парафиновый шар радиусом R= 10см равно­мерно за­ряжен с объемной плотностью ρ= l мкКл/м^З. Определить потенциал φ электрического поля в центре шара и на его по­верхности. Построить график зависимости φ (r).

15.34. Эбонитовый толстостенный полый шар несет равномерно рас­пределенный по объему заряд с плотностью ρ=2 мкКл/м³. Внут­ренний радиус R ₁шара равен 3 см, наружный R ₂=6 см. Определить потенциал φ шара в следующих точках: 1) на наружной поверхности шара; 2) на внутренней поверхности шара; 3) в центре шара.

Градиент потенциала и его связь с напряженностью поля

15.35. Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверх­ностной плотностью σ =4 нКл/м². Определить значение и направле­ние градиента потенциала электрического поля, созданного этой плоскостью.

15.36. Напряженность Е однородного электрического поля в не­кото­рой точке равна 600 В/м. Вычислить разн0cть потенциалов U между этой точкой и другой, лежащей на прямой составляющей угол α = 60ºс направлением вектора напряженности. Расстояние, между точ­ками равно 2 мм.

15.37. Напряженность Е однородного электрического поляравна 120 В/м. Оп­ределить разность потенциалов U между этой точкой и другой, лежащей на той же силовой линии и отстоящей от первой на Δ r= 1мм.

15.38. Электрическое полесоздано положительным точечным заря­дом. Потен­циал поля в точке, удаленной от заряда на r =12 см, равен 24 В. Определить значе­ние и направление градиента потенциала в этой точке.

15.39. Бесконечная тонкая прямая нить несет равномерно рас­преде­ленный по длине нити заряд с плотностью τ= 1 нКл/м. Каков градиент потенциала в точке, удаленной на расстояние r=10 см от нити? Указать направление градиента потен­циала.

15.40. Сплошной шар из диэлектрика (ε=3) радиусом R= 10см заряжен с объ­емной плотностью ρ=50 нКл/м^З. Напряженность электрического поля внутри и на поверхности такого шара выражается форму­лой , где r - расстояние от центра шара до точки, в которой вычисляется напряженность поля. Вычислить разность потен­циалов Δφ между центром шара и точками, лежащими на его поверхности.

Работа по перемещению зарядов в поле

15.41. Точечные заряды Q ₁ = 1мкКл и Q ₂ =0,1 мкКл находятся на рас­стоянии r ₁ =10 см друг от друга. Какую работу А совершат силы поля, если второй заряд, отталкиваясь от первого, удалится от него на рас­стояние: 1) r ₂= 10 м; 2) r _З= ?

15.42. Электрическое поле создано двумя одинаковыми положитель­ными то­чечными зарядами Q. Найти работу А ₁,₂сил поля по перемеще­нию за­ряда Q _l = 10 нKл из точки 1 с потенциалом φ₁ = 300 В в точ­ку 2 (рис. 15.10).

15.43. Определить работу А ₁,₂ по перемещению заряда Q _l =50 нКл из точки 1 в- точку 2 (рис. 15.11) в поле, созданном двумя точечными заря­дами, модуль | Q| которых равен 1 мкКл и a= 0,lм.

15.44. Электрическое поле создано бесконечной равномерно заряжен­ной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ =2 мкКл/м². В этом поле вдоль прямой, составляющей угол α = 60˚ с плоскостью, из точки 1 в точку 2, расстояние l между которыми равно 20 см (рис. 15.12), перемещается точечный электрический заряд Q= 10нКл. Опре­делить работу А сил поля поперемещению заряда.

15.45. На отрезке прямого провода равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ =1 мкКл/м. Определить работу А cил поля по перемещению заряда Q= 1 нКЛ из точки В в точку С (рис. 15.13).

15.46. Тонкий стержень согнут в полукольцо. стержень заряжен с линейной плотностью τ = 133 нКл/м. Какую работу А надо совер­шить, чтобы перенести за­ряд Q= 6,7нКл из центра полукольца в бесконечность?

15.47. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R= 10см. Он заряжен с ли­нейной плотностью τ =300 нКл/м. Какую работу А надо совершить, чтобы перене­сти заряд Q=5 нКл из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии l =20 см от центра его?

15.48. Электрическое поле создано равномерно распределенным по кольцу зарядом (τ = 1 мкКл/м). Определить ра­боту А ₁,₂ сил поля по перемещению за­ряда Q= 10 нКл из точки 1 (в центре кольца) в точку 2, находящуюся на пер­пендику­ляре к плоскости кольца (рис.15.14).

15.49. Определить работу А ₁,₂ сил поля по перемещению заряда Q= 1 мкКлиз точки 1 в точку 2 поля,созданного заряженным проводящим шаром (рис. 15.15). Потенциал φ шара равен 1 кВ.

15.50. Бесконечная прямая нить несет равномерно распределенный за­ряд (τ=0,1 мкКл/м). Определить работу A _1,2сил поля по перемещению заряда Q=50 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.16).

Движение заряженных частиц в электрическом поле

15.51. Электрон находится в однородном электрическом поле напря­женностью Е=200 кВ/м. Какой путь пройдет электрон за время t= 1 нс, если его начальная скорость была равна нулю? Ка­кой скоростью будет обладать электрон в конце этого интервала времени?

15.52. Какая ускоряющая разность потенциалов U требуется для того, чтобы сообщить скорость ν = 30Мм/с: 1) электрону; 2) про­тону?

15.53. Разность потенциалов U между катодом и анодом электронной лампы равна 90 В, расстояние r = 1 мм. С каким ускорением а движется электрон от катода к аноду? Какова скорость νэлектрона в момент удара об анод? За какое время t электрон пролетает расстояние от ка­тода до анода? Поле считать однородным.

15.54. Пылинка массой т= 1 пг, несущая на себе пять электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U =3 МВ. Какова кинетическая энергия Т пылинки? Какую скорость νприобрела пы­линка?

15.55. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность по­тенциалов U=600 кВ, приобрела скорость ν = 5,4Мм/с. Определить удельный заряд частицы (отношение заряда в массе).

15.56. Протон, начальная скорость νкоторого равна 100 км/с, влетел в однородное электрическое поле (Е= 300В/см) так, что вектор скорости совпал с направлением линий напряженности. Какой путь l должен пройти протон в направлении линий поля, чтобы его скорость удвои­лась?

15.57. Бесконечная плоскость заряжена отрицательно с поверхностной плотностью σ =35,4 нKл/м². По направлению силовой линии поля, соз­данного плоскостью, летит электрон. Определить минимальное рас­стояние l _min, на которое может подойти к плоскости электрон, если на расстоянии l ₀ = 5см он имел кинетическую энер­гию Т= 80эВ.

15.58. Электрон, летевший горизонтально со скоростью ν = l,6 Мм/с, влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е= 90В/см, направленное вертикально вверх. Какова будет по модулю и направле­нию скорость v электрона через 1 нс?

15.59. Вдоль силовой линии однородного электрического поля дви­жется протон. В точке поля с потенциалом φ₁ протон имел ско­рость ν₁=0,1 Мм/с. Определить потенциал φ₂ точки поля, в которой скорость протона возрастает в п=2 раза. Отношение заряда про­тона к его массе е/m= 96МКл/кг.

15.60. В однородное электрическое поле напряженностью Е =1 кB/Mвлетает вдоль силовой линии электрон со скоростью ν_o= l Mм/c. определить расстояние l; пройденное электроном до точки, в которой егоскорость ν_l будет равна половине начальной.

15.61. Какой минимальной скоростью ν_min должен о6ладать протон, чтобы он мог достигнуть поверхности заряженного до потен­циала φ=400 В металлического шара {рис. 15.17)?

15.62. Электрон движется вдоль силовой. линии однородного электри­ческого поля. В некоторой точке поля с потенциалом φ₁ =100 В элек­трон имел ско­рость ν₁=6 Mм/c. Определить потенциал φ₂ точки поля, в которой скорость v ₂электрона будет равна 0,5ν₁.

15.63. Из точки 1 на поверхности бесконечно длин­ного отрица­тельно заряженного цилиндра (τ =20 нKл/м)вылетает электрон (v _o = 0 ). Опреде­лить кинетическую энергию Т электрона в точке 2, находящейся на рас­стоянии 9 R от поверхности цилиндра, где R ­- его радиус (рис. 15.18).

15.64. Электрон с начальной скоростью ν₀=З Мм/с влетел в однородное электри­ческое поле напряженностью Е =150 B/м. Вектор началь­ной скорости перпендику­лярен линиям напряженности электрического поля. Найти: 1) силу F, действующую на элек­трон; 2) ускорение а, при­обретаемое элек­троном; 2) скорость ν электрона через t= 0,1мкс.

15.65. Электрон влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора со скоростью v= 10Mм/c,направленной параллельно пла­стинам. На сколько при­близится электрон к положительно заряженной пластине за время движения внутри конден­сатора (поле считать одно­родным), если расстояние d между пластинами равно 16 мм, разность потенциалов U= 30 В и длина l пластин равна 6 см?

15.66. Электрон влетел в плоский конденсатор, имея скорость ν = 10 Mм/c,на­правленную параллельно пластинам. В момент вылета из кон­денсатора направле­ние скорости электрона составляло угол α = 35˚с первоначальным направлением скорости. Определить разность потен­циалов U между пластинами (поле считать однородным), если длина l пластин равна 10 см и расстояние d между ними равно 2 см.

15.67. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинако­вом расстоя­нии от каждой пластины и имея скорость ν = 10 Мм/с, на­правленную парал­лельно пластинам, расстояние d между которыми равно 2 см. Длина l каждой пластины равна 10 см. Какую наи­меньшую разность потенциалов U нужно приложить к пластинам, чтобы элек­трон не вылетел из конденсатора?

15.68*. Протон сближается с α-частицей. Скорость ν₁ протона в лабораторной системе отсчета на достаточно большом удалении от α-частицы равна 300 км/с, а скорость ν₂α-частицы можно принять равной нулю. Определить минимальное расстояние r _min, на кото­рое подойдет протон к α-частице, и скорости ν₁и ν ₂обеих частиц в этот момент. Заряд α-чacтицы равен двум элементарным поло­жительным зарядам, а массу т ₁ее можно считать в четыре раза большей, чем масса т ₂протона.

15.69. Положительно заряженная частица, заряд которой равен элементарному заряду е, прошла ускоряющую разность потенциа­лов U=60 кВ и летит на ядро атома лития, заряд которого равен трем элементарным зарядам. На какое наи­меньшее расстояние r _min частица может приблизиться к ядру? Начальное рас­стояние ча­стицы от ядра можно считать практически бесконечно большим, а массу частицы - пренебрежимо малой по сравнению с массой ядра.

15.70.* Два электрона, находящиеся на большом расстоянии, друг от друга, сближаются с относительной начальной скоростью v= 10 Mм/c.Определить ми­нимальное расстояние r _minна которое они могут подойти друг к другу.

15.71.* Две одноименные заряженные частицы с зарядами Q _l и Q ₂ сближаются с большого расстояния. Векторы скоростей ν₁ и ν₂ частиц лежат на одной прямой. Определить минимальное рас­стояние r _minна которое могут подойти друг к другу частицы, если их массы соответственно равны т ₁и т ₂. Рассмотреть два случая: 1) т ₁ =т ₂и 2) т ₂>> m ₁.

15.72.* Отношение масс двух заряженных частиц равно k = т ₁ /т ₂. Частицы на­ходятся на расстоянии r ₀друг от друга. Какой кинетической энергией Т ₁ будет обладать частица массой т ₁, если она под действием силы взаимодействия со второй частицей удалится от нее на расстояние r >> r ₀. Рассмотреть три случая: 1) k= 1; 2) k= 0; 3) k . Заряды частиц принять равными Q _l и Q ₂. Начальными скоростями частиц пренебречь.

*Задачи 15.68; 15.70 - 15.72 следует решать в движущейся инерциальной системе координат, начало отсчета которой находится в центре масс обеих частиц