Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.
Определение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1, n1), (x2, n2), (xk, nk).
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (xi, ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1, w1), (x2, w2), (xk, wk).
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат wi. Точки (xi, wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.
На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:
x | 1,5 | 3,5 | 5,5 | 7,5 |
w | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 |
Рис. 6. Полигон относительных частот.
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.
|
|
Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).
Рис. 7. Гистограмма частот.
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии .
Площадь i-го частичного прямоугольника равна = - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.
На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n =100, приведенного в таблице 1.
Частичный интервал, длиною h=5 | Сумма частот вариант частичного интервала | Плотность частоты |
5 – 10 | 0,8 | |
10 – 15 | 1,2 | |
15 – 20 | 3,2 | |
20 – 25 | 7,2 | |
25 – 30 | 4,8 | |
30 – 35 | 2,0 | |
34 – 40 | 0,8 |
Определение. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна = - относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.
|
|
Примеры.
1. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.
Построить полигоны частот и относительных частот распределения.
Для начала построим полигон частот.
Рис. 8. Полигон частот.
Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.
n = 3 + 10 + 7 = 20.
.
Получаем
0,15 | 0,50 | 0,35 |
Построим полигон относительных частот.
Рис. 9. Полигон относительных частот.
2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.
Найдем плотность частоты :
Частичный интервал, длиною h = 3 | Сумма частот вариант частичного интервала | Плотность частоты |
2 – 5 | ||
5 – 8 | 3,3 | |
8 – 11 | 8,3 | |
11 – 14 |
Построим гистограмму частот.
Рис. 10. Гистограмма частот.
Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки n.
.
Теперь найдем относительные частоты :
Получим:
Частичный интервал | Сумма относительных частот | Плотность частоты |
2 – 5 | 0,18 | 0,06 |
5 – 8 | 0,2 | 0,07 |
8 – 11 | 0,5 | 0,16 |
11 – 14 | 0,12 | 0,04 |
Плотности частот нужно вычислить. При этом h = 3.
Построим гистограмму относительных частот.
Рис.11. Гистограмма относительных частот.