Схема замещения электрической цепи

Для упрощения исследования цепи ее заменяют схемой замещения, которая служит расчетной моделью реальной цепи. Схема учитывает последовательность соединения участков цепи и их свойства.

Каждый из элементов схемы отражает какую-либо одну сторону исследуемого процесса. На рис. 2.2–2.4 показаны обозначения простейших пассивных двухполюсников (а) и их характеристики (б).

Двухполюсники в схеме соединяются между собой идеальными (сверхпроводящими) проводниками, на которых стрелками указываются направления токов. Принято считать, что ток в пассивном двухполюснике течет от точки более высокого («плюс») к точке более низкого («минус») потенциала.

Сопротивление R (рис. 2.2) отражает в схеме потребление энергии (например, рассеивание энергии в виде тепла резистором), а уравнение вольтамперной характеристики (ВАХ) соответствует закону Ома:

.

Термином «сопротивление» называют также коэффициент пропорциональности . Здесь и , соответственно, масштабы напряжения и тока.

Мощность этого элемента (скорость потребления энергии) определяется по закону Джоуля-Ленца:

Индуктивность L (рис. 2.3) учитывает накопление энергии в магнитном поле катушки:

Здесь – коэффициент пропорциональности в

уравнении вебер-амперной характеристики (ВбАХ)катушки, а и , соответственно, масштабы потокосцепления и тока. Связь напряжения и тока соответствует закону

электромагнитной индукции:

.

Емкость С (рис. 2.4) отражает накопление энергии в электрическом поле конденсатора:

При этом величина представляет собой коэффициент пропорциональности в уравнении кулон-вольтной характеристики (КлВХ), а и

, соответственно, масштабы заряда и напряжения.

Связь напряжения и тока смещения:

Схемы замещения реальных источников энергии содержат идеальные источники напряжения и тока.

Разность потенциалов на зажимах источника напряжения, называемая электродвижущей силой (ЭДС), не зависит от тока в нем. Внутреннее сопротивление источника напряжения равно нулю.

В свою очередь, задающий ток источника тока не зависит от напряжения на его зажимах. Внутреннее сопротивление источника тока бесконечно велико.

Обозначения идеальных источников показаны на рис. 2.5.

Стрелка источника ЭДС (рис. 2.5,a) указывает точку более высокого потенциала. Обычно предполагается, что источник вырабатывает энергию. Поэтому ток внутри него течет от точки более низкого к точке более высокого потенциала. При этом мощность источника равна:

Двойная стрелка источника тока (рис. 2.5,б) указывает направление этого тока. Полярность напряжения обычно также считают соответствующей тому случаю, когда источник вырабатывает энергию. Тогда и у источника тока стрелка будет указывать

точку более высокого потенциала, а его мощность определится как

Если же полярности источников не будут соответствовать направлению их токов, окажется, что источники потребляют энергию и их мощности станут отрицательными.

На рис. 2.6 в качестве примера показана схема замещения некоторой электрической цепи, содержащая все выше перечисленные двухполюсники.

Участок схемы, по которому в любой момент времени течет один и тот же ток, называется ветвью. Принятое положительное направление тока в ветви указывается стрелкой.

Место соединения нескольких ветвей называется узлом (узлы обозначены буквами). Если в узле сходятся лишь две ветви, то его называют устранимым (например, узел f). Если два узла соединены проводником без сопротивления, то их потенциалы одинаковы (например, и , и ), так что каждую пару можно считать одним («расщепленным») узлом и обозначать одной буквой (a, b).

Замкнутый путь по ветвям схемы называется контуром (например, afbca). Замкнутый путь, не проходящий по ветвям, а пересекающий их, называется сечением (, ).

Топологическая схема, содержащая все ветви и узлы схемы замещения, но не отражающая характера ее элементов, называется графом (узлы изображаются точками, ветви – линиями). На рис. 2.7,а изображен граф схемы, которая показана на рис. 2.6. Ветвь с источником тока в граф не входит, поскольку внутренняя проводимость этого источника равна нулю.

Граф называется направленным, если указаны направления его ветвей, обычно соответствующие направлениям токов. Для графа применимы понятия контура и сечения. Часть графа, содержащая все узлы, соединенные между собой ветвями, не образующими ни одного контура, называется деревом. Ветви, дополняющие дерево до графа, называют хордами.

Легко доказать, что число ветвей дерева на единицу меньше числа узлов: . Тогда число хорд: .

На рис. 2.7,б,в показаны некоторые из деревьев рассматриваемого графа. Здесь

; ; ; .

Если окружить один из узлов схемы замкнутой поверхностью и записать для нее уравнение принципа непрерывности электрического тока, то его следствием будет первый закон Кирхгофа.

В любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле равна нулю (с одним знаком учитываются токи, отходящие от узла, с другим – подходящие к нему).

Так, для узла «a» схемы рис. 2.6 имеем:

или

По первому закону Кирхгофа можно составить столько независимых уравнений, сколько ветвей у дерева:

.

Если вычислить циркуляцию вектора напряженности электрического поля по одному из контуров схемы, то в результате получится второй закон Кирхгофа – следствие принципа сохранения энергии:

алгебраическая сумма падений напряжения в контуре равна алгебраической сумме ЭДС того же контура (со знаком «плюс» в левой части учитываются падения напряжения на тех элементах, направление тока в которых совпадает с направлением обхода контура, а в правой части – ЭДС тех источников, чьи стрелки совпадают с направлением обхода).

Так, для контура «» имеем:

откуда

Если в контур попадает источник тока, то напряжение на его зажимах записывается в правой части со знаком «плюс», когда его стрелка совпадает с направлением обхода. Напомним, что полярность его напряжения соответствует рис. 2.5. Если составляется уравнение для незамкнутого контура, то в правой части следует записать и напряжение на разомкнутых зажимах (разность их потенциалов), учитывая со знаком «плюс» потенциал зажима, с которого начинается обход контура, и со знаком «минус» потенциал зажима, на котором обход заканчивается.

Например,

Отсюда

Контур, содержащий только одну хорду, называется главным. Очевидно, уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для главных контуров, будут взаимно независимыми. Следовательно, по второму закону Кирхгофа можно составить столько независимых уравнений, сколько у графа хорд.

Существуют две основные задачи, требующие расчета цепей.

В первой из них известны схема цепи и ее параметры. Нужно найти токи в ветвях и напряжения между узлами. Это задача анализа.

Во второй – известен режим работы цепи, а необходимо построить подходящую схему и определить ее параметры. Это задача синтеза. Мы ограничимся анализом электрических цепей, а с синтезом можно будет познакомиться при изучении специальных дисциплин.