Эквивалентное преобразование части пассивной электрической цепи состоит в такой ее замене другой пассивной цепью, при которой остаются неизменными токи и напряжения остальной цепи, не подвергшейся преобразованию. Простейшее преобразование – замена последовательно и параллельно соединенных потребителей эквивалентным потребителем.
При последовательном соединении роль эквивалентного сопротивления (или сопротивления эквивалентного потребителя) играет сумма сопротивлений всех потребителей (рис. 1.12).
(1.11)
Это следует из II закона Кирхгофа:
(1.12)
При двух последовательно соединенных потребителях:
(1.13)
При параллельном соединении роль эквивалентной проводимости (или проводимости эквивалентного потребителя) играет сумма проводимостей всех потребителей (рис. 1.13).
. (1.14)
Это следует из I закона Кирхгофа:
При двух параллельно соединенных потребителях:
(1.15)
Таким образом, для расчета цепей с последовательно включенными потребителями целесообразно их свойства выражать значениями сопротивлений, а для параллельно включенных – значениями проводимостей.
Определение эквивалентного сопротивления при смешанном соединении потребителей выполняется путем постепенного упрощения (сворачивания) исходной цепи.
Пример. Для цепи на рис. 1.14 определим общее сопротивление относительно выводов a и b.
1. Параллельное соединение R 1 и R 2:
.
2. Последовательное соединение R 12 и R 3:
.
3. Последовательное соединение R 4 и R 5:
.
4. Параллельное соединение R 123 и R 45:
.
5. Последовательное соединение R ас и R 6:
.
Таким образом, эквивалентное сопротивление
Более сложными являются взаимные преобразования потребителей, соединенных звездой или треугольником. К таким преобразованиям следует обращаться в тех случаях, когда в цепи, подлежащей упрощению, нельзя выделить параллельное или последовательное соединения потребителей.
В узлах a, b, c и треугольник, и звезда на рис. 1.15 соединяются с остальной частью схемы. Преобразование треугольника в звезду должно быть таковым, чтобы при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды притекающие к этим точкам токи были одинаковы, тогда вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.
Выразим Uab треугольника через параметры потребителей и притекающие к этим узлам токи. Запишем уравнения Кирхгофа для контура и узлов a и b.
Заменим в первом уравнении токи I 3 и I 2 на соответствующие выражения:
По закону Ома напряжение Uab для соединения потребителей треугольником:
. (1.16)
Теперь получим выражение для этого же напряжения при соединении потребителей звездой:
(1.17)
Для эквивалентности данных цепей при произвольных значениях токов Ia и Ib необходимо равенство напряжений Uab для соединения потребителей треугольником и звездой. Это возможно только при одинаковых коэффициентах уравнений (1.16) и (1.17), т.е.
. (1.18)
Аналогично можно получить выражения для определения :
. (1.19)
Таким образом, сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.
Формулы обратного преобразования можно вывести независимо либо как следствие соотношений (1.18) и (1.19) через проводимости:
(1.20)
или через сопротивления:
(1.21)
Следовательно, сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.