Классификация точек поверхности

В зависимости от знака гауссовой кривизны точки поверхности можно разделить на три типа: 1 тип – если в данной точке гауссова кривизна поверхности положительная.

При этом точки называются эллиптическим точками поверхности. Для таких точек поверхности соприкасающимся параболоидом будет эллиптический параболоид. Главные нормальные кривизны одновременно будут либо положительными, либо отрицательными. Окрестность эллиптической точки на поверхности в этом случае располагается по одну сторону от касательной плоскости.

2 тип - если в данной точке гауссова кривизна поверхности отрицательная. При этом точки называются гиперболическим точками поверхности. Для таких точек поверхности соприкасающимся параболоидом будет гиперболический параболоид. Главные нормальные кривизны будут разные знаки. Окрестность гиперболической точки на поверхности в этом случае располагается по обе стороны от касательной плоскости.

3 тип - если в данной точке гауссова кривизна поверхности равна нулю. При этом точки называются параболическим точками поверхности. В этом случае возможны два варианта а) одна из главных кривизн равна нулю, а вторая не равна нулю, например k₁ = 0, k₂ ¹ 0. Для таких точек поверхности соприкасающимся параболоидом будет параболический цилиндр. Окрестность параболической точки на поверхности в этом случае располагается по одну сторону от касательной плоскости.

б) обе главные кривизны равны нулю. В этом случае точку ещё называют точкой уплощения. В малой её окрестности поверхность имеет весьма сложный вид, так называемый вид «обезьяньего седла».

1-го типа 2-го типа

3-го типа