Примеры решения задач. При решении задач на свободные или вынужденные колебания, как правило, не требуется решать уравнения соответствующих колебаний

При решении задач на свободные или вынужденные колебания, как правило, не требуется решать уравнения соответствующих колебаний. Достаточно определить значение силы, вынуждающей движение тела к положению равновесия и тогда, из сопоставления полученного уравнения и соответствующего уравнения колебаний можно определить период и частоту колебаний, а значит и найти закон движения тела. Рассмотрим конкретные примеры.

Задача 1. Математический маятник подвешен вблизи вертикальной стены и колеблется в плоскости, параллельной стене. В стену вбит гвоздь так, что середина нити маятника наталкивается на него каждый раз, когда маятник проходит положение равновесия справа налево. Найти длину нити, если период колебаний такого маятника (с помехой в виде гвоздя) .

Решение

Очевидно, что период колебаний такого маятника равен полусумме периодов колебаний маятника с длиной нити и маятника с длиной нити .

Используя известное выражение для периода колебаний математического маятника, получаем

. (1.6.1)

Выражая из (1.6.1) длину нити, находим

Подстановка числовых значений дает

Задача 2. Груз массой сбрасывается с высоты на чашку пружинных весов. Жесткость пружины , масса чашки . Определить амплитуду колебаний. При какой высоте произойдет отрыв груза от чашки в верхней точке? Считать, что удар груза о чашку неупругий, но груз не прилипает к чашке.

Решение

Воспользуемся законом сохранения энергии и определим скорость груза в момент удара о чашку

. (1.6.2)

Для определения скорости чашки вместе с грузом сразу после удара применяем закон сохранения импульса

. (1.6.3)

Пусть удлинение пружины перед падением груза равно , а в момент максимального растяжения пружины после падения груза - . Тогда применяя для движения чашки с грузом закон сохранения энергии, получаем

. (1.6.4)

Так как из условия равновесия пружины под весом чашки следует , то используя (1.6.2), (1.6.3), получаем квадратное уравнение относительно :

. (1.6.5)

Решая (1.6.5), находим

Определим равновесное удлинение пружины под действием чашки вместе с грузом

Поскольку амплитуда колебаний есть максимальное смещение тела от положения равновесия, получаем

. (1.6.6)

Условие отрыва груза от чашки в верхней точке состоит в исчезновении силы реакции со стороны чашки. По второму закону Ньютона это дает , где - ускорение груза. Поскольку , а уравнение колебаний имеет вид , максимальное значение ускорения . Частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле , следовательно, условие отрыва груза принимает вид

. (1.6.7)

Подставляя (1.6.6) в (1.6.7) и решая относительно высоты падения, получаем

Задача 3. К колесу радиуса с горизонтально расположенной осью прикрепили на ободе грузик массой . Найти массу колеса , предполагая ее однородно распределенной по ободу, если частота малых колебаний колеса вокруг оси равна .

Решение

Будем характеризовать положение колебательной системы при помощи угла отклонения радиуса колеса, проведенного через грузик, от вертикального направления. Полная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии колеса и груза и потенциальной энергии груза.

Кинетическая энергия может быть выражена через угол отклонения по формуле

где - момент инерции системы.

Потенциальная энергия груза выражается через угол отклонения по формуле

Из закона сохранения энергии следует

Дифференцируя это уравнение по времени, получаем

Рассматривая случай малых колебаний , получаем

. (1.6.8)

Таким образом, для частоты малых колебаний из (1.6.8) следует

. (1.6.9)

Выражая из полученной формулы массу колеса, находим

Задача 4. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями , . Определить уравнение траектории точки.