Интерференционные и дифракционные явления при движении частиц

Движущейся частице, имеющей импульс и энергию , квантовая механика сопоставляет волновую функцию вида, называемую волной де Бройля:

, (10.1)

где

- волновой вектор,

- круговая частота,

- длина волны де Бройля.

Для нерелятивистских частиц, скорость которых ,

где - масса частицы,

- её кинетическая энергия.

В соответствии с квантовой механикой основной характеристикой частицы является комплексная волновая функция, зависящая от координат и времени,

, (II.3.1)

где |Y| – амплитуда и Ф – фаза волновой функции, i = – мнимая единица.

Волновая функция содержит всю информацию о динамических характеристиках частицы. Физический смысл волновой функции заключается в том, что квадрат ее модуля определяет плотность вероятности Р нахождения частицы в определенной области пространства х, x+dx; y, y+dy; z, z+dz:

, (II.3.2)

где – комплексно-сопряженная волновая функция. Если частица движется в ограниченной области пространства объемом V, то вероятность обнаружения частицы в этой области равна 1 и волновая функция должна удовлетворять условию нормировки

. (II.3.3)

Волновая функция не есть непосредственно измеряемая величина. Она лишь определяет комплексную амплитуду вероятности. Все измеряемые величины являются квадратичными функциями волновой функции. В квантовой механике центральным понятием является вероятность, определяющая потенциальные возможности системы. Эти потенциальные возможности реализуются при взаимодействии с макроскопическим измерительным прибором.

Волновые свойства движения частиц проявляются в явлениях интерференции и дифракции. Если на непрозрачный плоский экран с двумя щелями направить пучок электронов, имеющих одинаковый импульс, то распределение плотности электронов на экране наблюдения при достаточно большом числе прошедших через щели электронов, описывается как результат интерференции двух волн де Бройля, идущих от щелей. В этом опыте проявляется корпускулярно-волновой дуализм частиц вещества, поскольку прохождение электронов через щели и образование интерференционной картины связано с волновыми свойствами, а процесс регистрации отдельных электронов на экране наблюдения с помощью детектора описывается на языке корпускул. Волновые свойства проявляются через статистические распределения частиц в процессе регистрации.

Если длина волны де Бройля , где - расстояние между атомами кристалла, то для пучка электронов можно получить все дифракционные явления, наблюдаемые методами Брэгга и Лауэ. Такую длину волны легко получить, используя ускоряющее напряжение .

Впервые брэгговское отражение электронных волн от кристалла наблюдалось в 1927 г. К. Дж. Дэвиссоном и Л. Джермером, а также Д.П.Томпсоном. Интересно отметить, что наиболее тяжёлыми частицами, для которых к настоящему времени зафиксированы волновые явления, являются органические молекулы с массой .

Существует несколько методов использования волновых свойств движения электронов и нейтронов для изучения структуры вещества.

Электронография – метод изучения вещества, основанный на рассеянии образцом ускоренных электронов.

Атомы рассеивают быстрые электроны примерно на 6 порядков сильнее, чем рентгеновское излучение. Это обусловлено зарядом электронов, взаимодействующим с кулоновским полем атомов. Благодаря эффективности кулоновского рассеяния электронов в электронографии используются плёнки материала толщиной всего . При достаточно длительном наблюдении возникает упорядоченная дифракционная картина распределения электронной плотности за образцом, зависящая от структуры кристаллической решётки.

Методом газовой электронографии определяют структуру молекул с относительно небольшим числом колебаний в широком диапазоне температур.

В электронной оптике занимаются вопросами формирования, фокусировки и отклонения электронных пучков с целью получения электронного изображения объекта.

Электронное изображение визуализируется на люминесцентном экране или фотослое. Управление пучком электронов осуществляется с помощью электрических и магнитных полей специальной пространственной конфигурации (электрических и магнитных линз) в достаточно высоком вакууме () для устранения искажения траектории движения электронов.

Основы электронной оптики ЭЛЕКТРОННАЯ И ИОННАЯ ОПТИКА, занимается вопросами формирования, фокусировки и отклонения пучков эл-нов и ионов и получения с их помощью изображений под воздействием электрич. и магн. полей в вакууме. Электронные и ионные изображения можно визуализировать на люминесцентном экране или фотослое. Т. к. электронные пучки используют гораздо шире, чем ионные, весьма распространён термин «электронная оптика» (ЭО).

Зарождение ЭО связано с созданием в кон. 19 в. электронно-лучевой трубки (ЭЛТ). В первой осциллографич. ЭЛТ (нем. физик К. Ф. Браун, 1897) электронный пучок отклонялся магн. полем. Отклонение заряж. ч-ц электростатич. полем наряду с магнитным использовал англ. физик Дж. Дж. Томсон в опытах по определению отношения заряда эл-на к его массе, пропуская пучок между пластинами плоского конденсатора, помещённого внутри ЭЛТ. В 1899 нем. физик И. Э. Вихерт применил для фокусировки электронного пучка в ЭЛТ магн. поле катушки с током. Однако лишь в 1926 нем. учёный X. Буш теоретически рассмотрел движение заряж. ч-ц в магн. поле такой катушки и показал, что она пригодна для получения правильных электронно-оптич. изображений и, следовательно, явл. электронной линзой (ЭЛ). Последующая разработка ЭЛ (магнитных и электростатических) открыла путь к созданию электронного микроскопа, электронно-оптического преобразователя и др. приборов, в к-рых формируются электронно-оптич. изображения объектов — либо испускающих эл-ны, либо тем или иным

образом воздействующих на электронные пучки. Конструирование спец. ЭЛТ для телевизионной и радиолокац. аппаратуры, для записи, хранения и воспроизведения информации и т. п. привело к дальнейшему развитию разделов ЭО, связанных с управлением пучками заряж. ч-ц. Значит. влияние на развитие ЭО оказала разработка аппаратуры для анализа потоков эл-нов (бета-спектрометров и др. аиалитич. приборов).

Параллельно с исследованием электронных пучков шло исследование пучков ионов, что привело к созданию ионной оптики (ИО). Между ЭО и ИО нет принципиального отличия. Движение эл-нов и ионов в поле описывается теми же ур-ниями. Но для применения в технике существенно то, что эл-ны легче получать, а их отклонение и фокусировка из-за меньшей массы могут осуществляться более слабыми и менее протяжёнными магн. полями, чем в случае ионов той же энергии. Кроме того, распределение эл-нов легче визуализировать на люминесцентном экране. Всё это привело к широкому распространению электронно-лучевых приборов. Развитие ИО в значит. степени связано с созданием масс-спектрометров и ускорителей заряженных частиц.

Для решения большинства задач Э. и и. о. достаточно рассматривать

Рис. 1. Отклонение электронного пучка в однородном поле плоского конденсатора: 1 — пластины конденсатора; 2 — электронный прожектор. Силовые линии поля изображены пунктирными линиями, сечения эквипотенциальных поверхностей плоскостью рисунка — сплошными линиями. Потенциал поля V возрастает при перемещении сверху вниз.

Рис. 2. Отклонение луча света в неоднородной оптич. среде. Показатель преломления n возрастает при перемещении сверху вниз.

движение заряж. ч-ц в рамках классич. механики, т. к. волн. природа ч-ц (см. Корпускулярно-волновой дуализм) в этих задачах практически не проявляется. В таком приближении Э. и и. о. носит назв. геометрической по аналогии с геометрической оптикой световых лучей, к-рая выражается в том, что поведение пучков заряж.

ч-ц в электрич. и магн. полях во многом подобно поведению световых лучей в неоднородных оптич. средах. Качественно это подобие обнаруживается уже при сравнении рис. 1 и 2. В основе указанной аналогии лежит более общая аналогия между классич. механикой и световой геом. оптикой, установленная ирл. математиком и физиком У. Р. Гамильтоном, доказавшим в 1834, что общее уравнение механики (уравнение Гамильтона — Якоби) по форме подобно оптич. уравнению эйконала. Как и в световой геом. оптике, в геом. Э. и и. о. вводится понятие показателя преломления, а при вычислении погрешностей изображения, б. ч. к-рых аналогична аберрациям оптических систем, зачастую используется метод эйконала. Когда приближение геом. Э. и и. о. оказывается недостаточным, напр. при исследовании разрешающей способности электронного микроскопа, привлекаются методы квантовой механики.

В электронно-оптич. устройствах широко применяются электрич. и магн. поля, обладающие симметрией вращения относительно оптич. оси системы. ЭЛ и электронные зеркала (ЭЗ) с такими полями наз. осесимметричными. Электрич. поля с симметрией вращения создаются электродами в виде цилиндров, чашечек, диафрагм с круглыми отверстиями и т. п. (рис. 3).

Рис. 3. Электронно-оптич. система с симметрией вращения, предназначенная для формирования электронного пучка (электронный прожектор): 1 — подогревной катод; 2 — фокусирующий электрод; 3 — первый анод; 4 — второй анод; 5 — сечения эквипотенциальных поверхностей электростатич. поля плоскостью рисунка. Штриховой линией обозначены контуры пучка. У электродов указаны их потенциалы по отношению к катоду, потенциал к-рого принят равным нулю. Электроды 1, 2, 3 образуют катодную электронную линзу, электроды 3 и 4 — иммерсионную.

Рис. 4. Магн. линза в виде катушки: а — вид сбоку; б — вид спереди; 1 — катушка; 2 — силовые линии магн. поля; 3 — электронная траектория. Штриховой линией обозначены контуры электронного пучка, выходящего из точки А (предмет) и фокусируемого в точке В (изображение).

Для получения осесимметричных магн. полей используют электромагниты (иногда пост. магниты) с полюсами в форме тел вращения или катушки с током (рис. 4). Осесимметричные линзы и зеркала создают правильные электронно-оптич. изображения, если заряж. ч-цы движутся достаточно близко к оси симметрии поля, а их нач. скорости мало отличаются друг от друга. Если эти условия не выполняются, погрешности изображения становятся весьма значительными. Когда предмет и изображение лежат за пределами поля, осесимметричные ЭЛ всегда собирающие. Св-ва электростатич. осесимметричной ЭЛ определяются положением её кардинальных точек, аналогичных кардинальным точкам осесимметричных свето-оптич. изображающих систем: фокусов, главных точек и узловых точек. Построение изображения производится по правилам световой геометрической оптики. В магн. ЭЛ оно дополнительно повёрнуто на некоторый угол. Электростатическим осесимметричным полям свойственны те же геом. аберрации, что и светооптическим центриров. системам сферич. поверхностей: сферическая аберрация, астигматизм, кривизна поля изображения, дисторсия и кома. В магн. полях к ним добавляются т. н. анизотропные дисторсия, астигматизм и кома. Кроме того, существуют три вида хроматич. аберраций (в электростатич. полях — два), обусловленных нек-рым неизбежным разбросом энергий поступающих в поле ч-ц. Вообще говоря, аберрации ЭЛ с симметрией вращения в сопоставимых условиях значительно превышают по величине аберрации светооптич. центриров. систем. Вопрос о компенсации аберраций или их уменьшении явл. одним из основных в теоретич. Э. и и. о.

Существуют и др. типы ЭЛ и ЭЗ, поля к-рых обладают разл. видами симметрии. Т. н. цилиндрические электростатич. и магн. ЭЛ и ЭЗ создают линейные изображения точечных предметов. В ряде аналитич. приборов высококачеств. фокусировка необходима только в одном направлении. В этих случаях целесообразно применять т. н. трансаксиальные электростатич. ЭЛ или ЭЗ. Для воздействия на пучки заряж. ч-ц с большими энергиями применяют квадрупольные ЭЛ (электростатические и магнитные).

Для отклонения пучков заряж. ч-ц используют электронно-оптич. устройства с электрич. или магн. полями, направленными поперёк пучка. Простейшим электрич. отклоняющим элементом явл. плоский электростатич. конденсатор. В ЭЛТ с целью уменьшения отклоняющего напряжения применяют системы с электродами более сложной формы. Отклоняющие магн.

поля создаются электромагнитами или проводниками, по к-рым течёт ток. Очень разнообразны формы отклоняющих электрич. и магн. полей, применяемых в масс-спектрометрах, электронных спектрометрах и др. аналитич. приборах, в к-рых поля пространственно разделяют (разрешают) заряж. ч-цы по энергии и массе, а также фокусируют пучки.

Рис. 5. Сферич. конденсатор: 1 — электроды конденсатора; 2 —точечный предмет; 3 — изображение предмета; 4 — кольцевые диафрагмы. Изображение лежит на прямой, проходящей через источник и центр О сферич. электродов.

Электрич. поля обычно формируются разл. конденсаторами: плоским, цилиндрическим, сферическим (рис. 5) и тороидальным. Из разл. типов магн. полей часто применяются однородное поле (рис. 6) и секторное поле (рис. 7). Для улучшения кач-ва фокусировки искривляют границы секторных магн. полей, а также применяют неоднородные магн. поля, напряжённость к-рых меняется по определ. закону.

Рис. 6. Отклонение и фокусировка пучка заряж. ч-ц однородным магн. полем: 1 — предмет; 2 — изображение. Заряж. ч-цы, испущенные линейным предметом (щелью) в пределах небольшого угла 2a, сначала расходятся, а затем, описав полуокружности с радиусом r, который для всех ч-ц с одной и той же массой и энергией одинаков, фокусируются, формируя изображение предмета в виде полоски шириной ra². Линейный предмет и полоска-изображение расположены параллельно силовым линиям магн. поля, направленным перпендикулярно к плоскости рисунка. О_1? О₂ и О₃ — центры круговых траекторий ч-ц.

Рис. 7. Отклонение и фокусировка пучка заряж. ч-ц секторным однородным магн. полем: 1 — магн. поле; 2 — предмет (щель источника); 3 — изображение. Силовые линии магн. поля направлены перпендикулярно к плоскости рисунка. Изображение лежит на линии, соединяющей предмет с вершиной сектора О. Ширина изображения того же порядка, что и в однородном магн. поле.

Перечисл. отклоняющие электрич. и магн. устройства, иногда наз. электронными (ионными) призмами, отличаются от светооптич. призм тем, что они не только отклоняют, но и фокусируют пучки заряж. ч-ц. Фокусировка приводит к тому, что попадающие в поля таких устройств параллельные пучки после отклонения перестают быть параллельными. Между тем для создания высококачеств. аналитич. приборов необходимы электронные (ионные) призмы, к-рые подобно световым призмам сохраняют параллельность пучков. В кач-ве таких электронных призм применяют телескопич. системы электрич. и магн. полей. Добавив к электронной призме коллиматорную ЭЛ на входе и фокусирующую — на выходе, можно получить аналитич. прибор, в к-ром сочетаются высокая разрешающая способность и большая электронно-оптич. светосила.

• Арцимович Л. А., Лукьянов С. Ю., Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях, 2 изд., М., 1978; Бонштедт Б. Э., Маркович М. Г., Фокусировка и отклонение пучков в электроннолучевых приборах, М., 1967; Глазер В., Основы электронной оптики, пер. с нем., М., 1957; 3 и н ч е н к о Н. С., Курс лекций по электронной оптике, 2 изд., Хар., 1961; Кельман В. М., Явор С. Я., Электронная оптика, 3 изд., Л., 1968.

Рис. Электронный пучок в однородном электрическом поле.

Силовые линии изображены штриховыми линиями, эквипотенциальные поверхности - сплошными. F = e E = e (V/d)

Рис. Электронный пучок в однородном магнитном поле.

Линиии магнитной индукции, перпендикулярные к плоскости рисунка и направленные от чертежа к нам, изображены точками. F = e[vB]; R = mv/eB.

Рис. Преломление луча света на границе двух сред с разными показателями преломления; sin i / sin r = n2/ n1

Рис. Преломление электронного пучка на границе двух сред с разными потенциалами sin i / sin r = (V2 / V1)1/2

Рис. Искривление эквипотенциальных поверхностей вблизи проволочной сетки. (На эквипотенциальных поверхностях и электродах указаны соответствующие им потенциалы).