Квазистационарные токи

ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющихся тока и напряжения, если только их изменения происходят не слишком быстро. Электромагнитные возмущения распространяются по цепи с огромной скоростью, равной скорости света в вакууме. Если за время, необходимое для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи, сила тока изменяется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи будут практически одинаковыми. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными. Для периодически изменяющихся сигналов квазистационарными считаются токи с частотой ~ 10⁸ Гц. Ток промышленной частоты 50 Гц квазистационарен для цепей длиной до 100 км.

Мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома. Следовательно, для них справедливы и правила Кирхгофа.

Пусть к зажимам сопротивления R (рис. 199, о), не обладающего индуктивностью и емкостью ') (такое со­противление называется активным), приложено на* пряжение, изменяющееся по закону

U = U_mcos<>>t (92.1)

(U_m — амплитудное значение напряжения). При выпол* нении условия квазистационарности ток через сопро* тивление определяется законом Ома

i = -5- = —rp cos (at = I_m cos (£>t. (92.2)

Таким образом, между амплитудными значениями си» лы тока и напряжения имеется соотношение

/ = У™, (92.3)

Соотношения между переменными токами и напря­
жениями делаются особенно наглядными, если изобра«
жать их (как и гармониче- „

U

•O'VO-

ские колебания) с помощью
векторов (см. т. I, § 68). _а;
Выберем произвольное на­
правление, которое назовем
осью токов (рис. 199,6).,-.
Отложим вдоль этого на­
правления вектор тока дли­
ной 1_т. Поскольку напряже- Рис. 199.
ние и ток в рассматриваемом

случае изменяются синфазно, вектор напряжения также будет направлен вдоль оси токов; длина его равна /?/_т. Совокупность векторов напряжений или токов образует векторную диаграмму данной цепи.

§ 93. Переменный ток, текущий через индуктивность

Подадим переменное напряжение (92.1) на концы индуктивности L (например, катушки) с пренебрежимо малыми сопротивлением и емкостью (рис. 220, а). В ин­дуктивности начнет течь переменный ток, вследствие

') Всякий проводник (например, прямолинейный отрезок про» вода) обладает некоторой емкостью и индуктивностью. Поэтому «чистые» активное сопротивление К, индуктивность L и емкость С являются абстракциями.

22* 339

чего возникнет э. д. с. самоиндукции [см. формулу (59.9)]

^=-^4

^s dt

(полагаем, что L не зависит от i). Уравнение (35.1) за­кона Ома запишется следующим образом (R = 0, раз­ность потенциалов равна U, &_n — %>_s):

/•ywyy-ч

_и ^L-^^o— '

U_mcos&t-L~ откуда

(93.1)

В рассматриваемом случае все
_п внешнее напряжение приложено к

~~ индуктивности L. Следовательно,

"'-'•Т

есть не что иное, как падение напряжения на индуктив­ности.

Перепишем уравнение (93.1) в виде

di = Щ±- cos со/ dt.

Li

Интегрирование дает

i = — г- sin cof + const.

(OL

Постоянной составляющей тока, очевидно, нет; по­этому const = 0. Таким образом,

(93.3) где

'«-•й-- <⁹³-⁴>

Сопоставляя соотношения (92.3) и (93.4), мы ви­дим, что роль сопротивления в данном случае играет величина

X_L = wL, (93.5)

которую называют реактивным индуктивным сопротивлением или просто индуктивным сопротивлением. Если L взять в генри, а и — в сект¹, то Х_ь будет выражено в омах.

Как видно из (93.5), величина индуктивного сопро­тивления растет с частотой со. Постоянному току (со = 0) индуктивность не оказывает сопротивления. Заменив в (93.1) U_m через coL/_m, получим для падения напряжения на индуктивности следующее выражение:

U_L = wL/_m cos at.

(93.6)

Максимум i

Из сравнения выражений (93.3) и (93.6) вытекает, что падение напряжения на индуктивности опережает по фазе ток, текущий через индуктивность, на я/2. Если направить, как и на рис. 199, ось токов горизонтально, получается векторная диа­грамма, изображенная на рис. 200, б.

Рис. 201.

Сдвиг по фазе между то­ком и напряжением на ин­дуктивности легко понять, если учесть, что производная косинуса имеет наибольшее

чем максимум самого косинуса

значение в тот момент, когда косинус равен нулю, причем максимум производной достигается на 'Д

периода раньше, (рис. 201).

§ 94. Переменный ток, текущий через емкость

Пусть напряжение (92.1) подано на емкость С (рис. 202,а). Индуктивностью цепи и сопротивлением подводящих проводов будем пренебрегать. Емкость не­прерывно перезаряжается, вследствие чего в цепи течет переменный ток. Поскольку сопротивление подводящих проводов пренебрежимо мало, напряжение на конденса­торе £/_с = -7т можно считать равным внешнему напря­жению U:

U_c = 4r= U_mcos®t. (8-1.1)

Производная от q no t даст силу тока в цепи I. Ум­ножим выражение (94.1) на С и продифференцируем по t, заменив q через i:

где

= /_mcos

(at + — -),

(94.2)

(94.3)

Величина

1 «С

(94.4)

называется реактивным емкостным сопро­тивлением или просто емкостным сопротив­лением. Если С взять в фа­радах, а со в се/с-¹, то Х_с будет выражено в омах.

в) Для постоянного тока

U (со = 0) Х_с = оо — постоянный

б)

-ТЕ

г

Ось таков

Максимум заряда

Максимум тока

Рис. 202.

Рис. 203.

ток через конденсатор течь не может. Переменный ток (ю ф 0) может течь через конденсатор, причем оказы­ваемое току сопротивление будет тем меньше, чем боль­ше частота тока со и емкость конденсатора С.

Заменив в выражении (94.1) U_m через —я- /_т, для

(94.5)

падения напряжения на емкости получим tfc = i'mCos<D/.

Сравнив (94.2) и (94.5), находим, что падение на­пряжения¹ на емкости отстает по фазе от текущего че­рез емкость тока на л/2 (см. векторную диаграмму на

рис, 202, б), Причина отставания заключена в том, что до тех пор, пока ток течет ъ одном и том же направле­нии, заряд на обкладках конденсатора растет. Сила то­ка проходит через максимум и начинает убывать (рис. 203), а заряд (а следовательно, и U_c) все еще продолжает расти, достигая максимума в тот момент, когда i обращается в нуль. Вслед затем ток изменяет направление и начинается убывание зарядов на об«кладках.

§ 95. Цепь переменного тока, содержащая емкость, индуктивность и сопротивление

Рассмотрим цепь, составленную из активного сопро* тивления R, индуктивности L и емкости С (рис. 204, a}_t Подадим на концы этой цепи напряжение (92.1) частС|«ты со. В цепи возникнет переменный ток той же часто* ты, амплитуда 1_т и фаза которого, очевидно, опреде­ляются параметрами цепи R, L и С, Этот ток вызовет

К L

Рис. 204.

на активном сопротивлении падение напряжения U_ttt амплитуда которого равна RI_m, а фаза совпадает с фа­зой тока (см. рис. 199,6). Поэтому на векторной диа«грамме (рис. 204, 6) вектор, изображающий U_R, нужно отложить по оси токов. Падение напряжения на индук­тивности U_L (с амплитудой a>LI_m) опережает ток по

фазе на л/2 (см. рис. 200, б); поэтому вектор, изобра­жающий ul, должен быть повернут относительно оси токов на угол л/2 против часовой стрелки. Наконец,

падение напряжения на емкости U_c (имеющее ампли-

туду -j^/m отстает от тока по фазе на л/2 (см.

рис. 202,6); следовательно, вектор, изображающий U_c, должен быть повернут относительно оси токов на угол я/2 по часовой стрелке.

Падения напряжений U_R, U _L и U с в сумме должны быть равны приложенному к цепи напряжению U. По­этому, сложив векторы, изображающие U_R, U_L и U_c, мы получим вектор, изображающий U (его длина рав­на U_m), Этот вектор образует с осью токов угол ф, тан­генс которого, как видно из рис. 204, б, равен

(95.1)

Угол ф дает разность фаз между напряжением U и силой тока i. Из прямоугольного треугольника, гипоте­нуза которого U_m, следует, что

откуда

Итак, если напряжение на зажимах цепи изме­няется по закону

U — U_mcos<s>t,

то в цепи течет ток

/ = /_тсозМ-ф), (95.3)

где ф и /_т определяются формулами (95.1) и (95.2). Величина

-X_cf (95.4)

называется полным сопротивлением цепи. Ве­личина

А' = *,-Х_с = а>£-^ (95.5)

называется реактивным сопротивлением. Та­
ким образом,

(95.6)

Ток отстает от напряжения (ф > 0) или опережает его (ф < 0) в зависимости от соотношения между X_L и

Х_с. При o>l>-£-tok отстает от напряжения, при <oL<^£

ток опережает напряжение. Если coZ/ = —£- > изменения

тока и напряжения происходят синфаз­но (ф = 0). При удовлетворяющей этому условию частоте

°«' = 7ТГ <⁹"> |^_,_е_

Ряс. 205.

полное сопротивление цепи Z имеет наи- I ffL. токов меньшее, возможное при данных R, L и С, значение, равное R. Соответственно сила тока достигает наибольшего (воз­можного при данном U_m) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряже­нию, приложенному к цепи. Падения на­пряжения на емкости l/c и индуктивности l/ь одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений, а частота (95.7) — резонансной частотой. Векторная диа-грамм.а для случая резонанса напряжений показана на рис. 205.

Подставив в выражения для амплитуды напряжения

на индуктивности (U_L — ti)LI_m) и емкости (£/_с = -^- 1_т\ значение резонансной частоты (95.7), получим

Г --1- ~С~'т~ R У С

Если 1/ 7Г > Я. напряжение на индуктивности и на

емкости превышает напряжение, приложенное к цепи. Явление резонанса напряжений характерно тем, что полное сопротивление цепи- оказывается чисто актив­ным (ток и напряжение изменяются синфазно) и имеет

наименьшую возможную при данных параметрах цепи величину.

Если емкость в цепи отсутствует, приложенное на­пряжение равно сумме падений напряжения на сопро­тивлении и индуктивности: U = U_R + U_L. Соответст­вующая векторная диаграмма изображена на рис. 206. В этом случае, как видно из рисунка,

^m- Т _

' ^П

Формулы (95.1) и (95.2) совпадают с полученными Нами выражениями, если положить в них —~- = 0, т. е.

С = оо. Таким образом, от­сутствие емкости в цепи оз­начает С = оо, а не С = О, как казалось бы на первый взгляд. Это можно пояснить следующим образом. Посте­пенный переход от цепи, со­держащей емкость, к цепи без емкости можно осуще­ствить, сближая обкладки конденсатора до их полного

соприкосновения. При этом зазор между обкладками d стремится к нулю, а величина емкости стремится к бес­конечности [см. формулу (25.2)].

§ 96. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока [ср. с формулой (37.2)]:

P(t) = U (t) i (t) = U_m cos cd/ /_m cos ((at - ф). Воспользовавшись формулой

cos a cos 8 = -5- cos (a — p) + -^ cos (a + p),

Z, £

выражению для мгновенной мощности можно придать вид

*> (0 = 4 ^m/m COS ф+ | U_ml_m COS (2(0/ - ф). (96.1)

Практический интерес представляет среднее по вре­мени значение P(t), которое мы обозначим просто Р. Так как среднее значе­ние cos(2cu< — ф) равно нулю,

Р = Ьсозф. (96.2)

Таким образом, мгно­венная мощность (96.1) колеблется около средне­го значения (96.2)' с ча­стотой 2оз, в два раза пре­вышающей частоту тока [(рис.207).

Если ток в цепи не Рис. 207.

совершает механической

работы, средняя мощность (96.2) выделяется в активном сопротивлении в виде тепла. В соответствии с форму­лой (95.1)

СОЗф

(96.3)

Подставив это значение cos ф в формулу (96.2) и тя, что ~^- = 1_т [см. формулу (95.2)], получим

(96.4)

Такую же мощность развивает постоянный ток, си­ла которого равна

г /т

W

(96.5)

Величина (96.5) называется действующим (или эффективным) значением силы тока. Аналогич­но величина

п — ^т

\J —~.

/2

(96.6) 347

называется действующим значением напря­жен и я.

С использованием действующих значений формуле (96.2) для средней мощности можно придать вид

(96.7)

В выражение для мощности входит множитель cos <p, который называют коэффициентом мощности.

Если реактивное сопротивление X = coL* — -^- равно

нулю (это будет, в частности, при Х_ь = Х_с = 0), то со­гласно (96.3) cos ф = 1 и Р — VI. При чисто реактив­ном сопротивлении цепи (R = 0) cos ф = 0, поэтому и средняя мощность, выделяемая в цепи, равна нулю. В этом случае одну четверть периода тока энергия по­ступает из внешней сети в цепь, а следующую четверть периода возвращается обратно (мгновенная мощность изменяется с частотой 2о>). Таким образом, при cos ф = 0 ни при какой силе тока невозможно получить в цепи среднюю мощность, отличную от нуля. В техни­ке стремятся сделать созф как можно больше. При ма­лом cos ф для выделения в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большей силы. При этом возра­стают потери в подводящих проводах и приходится увеличивать их сечение.

§ 97. Символический метод

Расчеты цепей переменного тока значительно упро­щаются, если применять так называемый символи­ческий метод. Этот метод осно­вывается на том, что, как известно из курса математики, каждому век­тору А, расположенному в коорди­натной плоскости (рис. 208), мо­жно сопоставить комплексное число

Рис 208. A*=a + bj = Ae^!a, (97.1)

где а и Ъ — проекции вектора на координатные оси (на­чало вектора предполагается совмещенным с началом координат), А — модуль комплексного числа (совпа­дающий с модулем вектора), а — аргумент комплекс-

ного числа (совпадающий с углом между вектором и осью х), / — мнимая единица¹).

Между величинами а, Ь, А и а имеются следующие соотношения:

А = /с² + Ь², Ь

(97-2)

При сложении комплексных чисел складываются от­дельно их вещественные и мнимые части:

Легко видеть, что А соответствует сумме векторов, изображаемых комплексными числами А^ (рис. 209). У

Рис. 209.

Рис. 210.

Из правила перемножения двух комплексных чисел

вытекает, что умножение комплексной величины А = Aei^a, изображающей вектор А (рис. 210), на

') В отличие от принятого в математике обозначения i, в элек­тротехнике Y —1 обозначают буквой /. Использование,этого обо-$начения, а также обрзначение углов и фаз буквой <р не сможет вызвать недоразумений, так как в главах XV и XVI мы не бу< Дем прибегать к понятиям плотности тока и потенциала.

В электротехнике для обозначения комплексных величин вместо «крышечки» (например, U) применяется точка (U). Мы не можем воспользоваться таким обозначением, поскольку точка над симво­лом величины в физике всегда означает производную по времени.

комплексное число е& равнозначно повороту вектора А на угол ф против часовой стрелки. Если ф = -^,то

eif = cos-5--f-/sin-j = /. Таким образом, умножение на /

равнозначно повороту вектора на угол я/2 против ча-< Совой стрелки. Аналогично умножение на 1// = —/ рав­нозначно повороту вектора на угол я/2 по часовой стрелке.

Чтобы продемонстрировать преимущества символи­ческого метода, произведем с его помощью вычисление Падений напряжения на индуктивности и емкости. Фор­мула (93.2) запишется в символическом виде следую­щим образом:

Г/ -?А ^UL-^L^t-

Если через индуктивность течет ток

то

U_L=*L-~ (I_me>^&t) = j<i>Ll_me№ = /'coif. (97.4)

Таким образом, для того чтобы получить вектор на­пряжения U_L, нужно вектор силы тока умножить на €»L и повернуть против часовой стрелки на угол л/2. Это согласуется с рис. 200, б.

Согласно (94.1) U_c = qlC. Заряд на конденсаторе можно записать в виде

4 =

Подставив это выражение в формулу для Uc и пе­рейдя к символической записи, получим

_с

Если в цепи течет ток (97.3),

e'^wt dt = ^} 7 е№ = —i ^l T (97
^{в ai 1т} > ¹ ^'•

= — 1 с J

(постоянная составляющая напряжения предполагается отсутствующей; поэтому постоянная интегрирования при*

нята равной нулю). Полученный результат согласуется с рис. 202, б.

Падение напряжения на активном сопротивлении, очевидно, равно

В случае цепи, изображенной на рис. 204, а, сумма величин (97.4), (97.5) и (97.6) даст внешнее напряже­ние 0:

«*«

Вынеся t за скобки, получим

7[«+ /(«1—^)]-&. 07.7)

Величина

1— = Я + Д (97.8)

называется комплексным сопротивлением. В соответствии с формулами (97.2) его модуль равен полному сопротивлению (95.4), а аргумент опреде­ляется формулой (95.1), т. е. равен ф — сдвигу фаз меж­ду напряжением и током. Следовательно,

Z = Ze^i(f. (97.9)

С введением комплексного сопротивления формула (97.7) принимает вид

~iZ = U, (97.10)

совпадающий с выражением закона Ома для постоян­ного тока.

Из соотношения

вытекает, что вектор напряжения 0 можно получить, умножив вектор силы тока i на Z и повернув против ча­совой стрелки на угол ф. Это согласуется с рис. 204, б. Представим себе последовательную цепь, отдельные участки которой характеризуются комплексными сопро-

тивлениями Z_k (рис. 211). Согласно (97.10) падение на» пряжения на каждом из участков равно

O_k = iZ_k.

Сумма всех Uk должна быть равна напряжению О, приложенному к цепи:

Таким образом, комплексное сопротивление Z после­довательной цепи равно сумме комплексных сопротив­лений отдельных ее участков:

Z=2Zfe. (97.11)

При параллельном соединении элементов цепи, каж­дый из которых характеризуется комплексным сопро­тивлением Z_ft (рис. 212), полный ток равен

- U

где 0 — приложенное напряжение, 2 — комплексное со­противление цепи. Вместе с тем ток t должен быть

"Т

Рис. 211.

Рис. 212.

равен сумме токов ih, текущих по отдельным элементам цепи и определяемых выражением i_h — U/Z_h,

Приравняв оба выражения для г, получим формулу для вычисления комплексного сопротивления парал­лельной цепи

т-Si- (^97Л2)

Правила Кирхгофа в комплексной форме записы­ваются следующим образом:

= о,

^(9?ЛЗ)

где &ь = &_тке'^~" '"^а*^есть k-я э. д. с., действующая в данном контуре.

Все полученные в настоящем параграфе формулы остаются справедливыми, если вместо амплитудных взять действующие значения токов, напряжений и э. д. с.

§ 98. Резонанс токов

Рассмотрим цепь, образованную включенными па­
раллельно индуктивностью и емкостью (рис. 213),
Предположим, что активное сопротивление обеих вет­
вей настолько мало, что им. _г
можно пренебречь. В этом слу- £
чае согласно формулам (97.4) /^
и (97.5) р (£

/ю/,

и

Рис.213.

Из выражений (98.1) следует, что токи i\ и /₂ нахо­дятся в противофазе (ток в индуктивности отстает от U на я/2, ток в емкости опережает U на я/2). Ток в подво­дящих проводах i равен сумме токов /i и i₂:

При условии, что

(98.2)

S*

ток (в подводящих проводах будет отсутствовать, хотя токи t'i и /2 в отдельных цепях могут быть очень велики. Это явление называется резонансом токов. Для резонансной частоты из условия (98.2) получается такое же значение, как и при резонансе напряжений [см. формулу (95.7)].

23 И. В. Савельев, т. II

При резонансе токи i\ и i₂ одинаковы по амплитуде и, как уже отмечалось, противоположны по фазе. Сле­довательно, в контуре, образованном индуктивностью и емкостью, циркулирует ток, непрерывно перезаряжая обкладки конденсатора.

Соотношение между токами i\ и i₂ можно изобра­зить наглядно с помощью векторной диаграммы. На диаграмме напряжений (см. рис. 204, б) векторы 0 от­кладывались относительно оси токов. При построении диаграммы токов векторы / нужно откладывать отно­сительно оси напряжений. Выберем в качестве этой оси

J it напряжений

^

	J Ir
II
»4	L R
и

Рис. 214.

Рис. 215.

ось х (рис. 214). Ток в индуктивности отстает от напря­жения на я/2 и потому изображается вектором, повер­нутым относительно оси напряжений по часовой стрел­ке на угол я/2. Ток в емкости опережает напряжение на л/2, соответственно он повернут относительно оси на­пряжений против часовой стрелки на угол я/2. При ре­зонансе длины векторов обоих токов одинаковы, резуль­тирующий ток равен нулю.

Практически индуктивность (например, катушка) всегда обладает некоторым активным сопротивлением R ') (на рис. 215 это сопротивление и сама индуктив­ность изображены раздельно). Следовательно, отстава-> ние тока от напряжения будет меньше я/2 — оно опре­деляется формулой

, со£,

tg Ф = -- •

') Это относится также и к конденсатору; однако активное со­противление в цепи конденсатора может быть сделано значительно меньше, чем в цепи индуктивности.

В этом случае векторы i\ и ia не коллинеарны и сум­ма их не может быть равной нулю (рис. 216,а). Комп­лексные сопротивления обеих ветвей равны (см. рис. 215)

Сопротивление всей цепи будем вычислять по форму­ле (97.12)

+ jaL

'

R + jaL

откуда

_R + jab

Умножив числитель и знаменатель на величину, комплексно сопряженную знаменателю, получим

s R + j [coL(l -co²LC)~ <oCR²] /no o\

' = '- ^! . (9о.о)

Модуль Z даст полное сопротивление параллельной цепи, а отношение реактивной и активной составляю­щих Z — тангенс угла ф, определяющего сдвиг фаз меж* ду напряжением и током.

1-\ ___ у напряжений

Рис. 216.

Можно показать, что максимум полного сопротив­ления Z (т. е. резонанс токов) достигается при условии, что реактивная составляющая Z обращается в нуль и,

23*

следрвательно, полное сопротивление становится чисто активным (рис. 216,6). Резонансную частоту можно найти, приравняв нулю мнимую часть выражения (98.3)

cuL(l-co²LC)-cuC./?² = 0. Отсюда

Юрез =

При R = О эта формула переходит в (95.7).

Итак, резонанс токов характерен тем, что полное сопротивление цепи оказывается чисто активным и имеет наибольшую, возможную при данных парамет­рах цепи величину (в случае резонанса напряжений Z рмеет наименьшую величину). При этом токи i\ и t'₂ значительно превышают текущий через источник ток L Развиваемая источником мощность выделяется в ак­тивном сопротивлении цепи R.

Для тока частоты (98.4) контур с малым R имеет очень большое сопротивление, тем большее, чем меньше R (при R—>Q сопротивление контура Z стремится к бесконечности).