Лабораторная работа 13 (2008 г.)

Задание 1. Моделирование сигнала на основе спектрального подхода.

В геофизике нашло широкое применение описание периодических функций, имеющих на периоде конечное число разрывов и непрервыность производных между ними, с помощью тригонометрического ряда Фурье.

Основная форма этого ряда имееет следующий вид:

y(t) = + ,

где k – порядковый номер гармоники, Т – период гармоники.

Этот ряд содержит бесконечное число косинусных и синусных составляющих – гармоник, причем амплитуды этих составляющих a_k и b_k являются коэффициентами Фурье.

Приведенный ряд содержит бесконечное число членов и при таком представлении оказывается бесполезным, поскольку время вычисления в этом случае также равно бесконечности.

При этом амплитуды гармоник для реальных зависимостей y(t) быстро уменьшаются по мере роста номера гармоник. На практике обычно ограничивают число гармоник.

Ряд Фурье можно представить еще в следующей форме:

y(t) = + , где амплитуды гармоник и их фазы определяются в виде: М_k = , φ_k = -arctan().

Пример 1. Синтез периодического прямоугольного импульса со скваженностью, равной 2 (меандр). Ряд фурье для таких импульсов содержит только синусные члены, причем только с нечетными значениями k. Реализуем синтез для 5, 9 и 25 гармоник.

Меандр – это зависимость, которая содержимт скачки. Для получения в результате синтеза скачков необходимо брать большое число гармоник. При большом числе гармоник синтезированный сигнал напоминает меандр и отличается от него конечным временем перепада и характерной волнитостью. Волнистость усиливается после быстрых перепадов и является проявлением так называемого эффекта Гиббса.

Эффект Гиббса невозможно устранить и даже ослабить одним только увеличением числа гармоник при синтезе. При этом только увеличивается частота волнообразных колебаний, но их относительная амплитуда меняется незначительно и доходит до 18% от амплитуды синтезируемых колебаний.

Проявление эффекта Гиббса вводит в синтезируемые колебания новые компоненты. Поэтому стремяться ослабить эффект Гиббсона даже за счет уменьшения точности ситеза.

N:= 200 j:= 0 .. N k_j:= 2·π·

i:= 1, 3 .. 5 Y5_j:= - синтез по 5 гармоникам.

i:= 1, 3 .. 9 Y9_j:= - синтез по 9 гармоникам.

i:= 1, 3 .. 25 Y15_j:= - синтез по 25 гармоникам.

Графики гармонического синтеза меандра:

Пример 2. Гармонический синтез треугольных колебаний.

N:= 200 j:= 0 .. N

i:= 1 .. 5 Y5_j:= - синтез по 5 гармоникам.

i:= 1 .. 9 Y9_j:= - синтез по 9 гармоникам.

i:= 1 .. 15 Y15_j:= - синтез по 15 гармоникам.

Графики гармонического синтеза треугольного сигнала:

Задание 2. Спектральный анализ и синтез сигналов с линейной интеполяцией функции между узлами.

При моделировании сигналов сложной формы спектральным методом возникает эффект Гиббса. В соответствии с теоремой об отчетах (теоремой Котельникова) максимальное число гармоник в спектре сигнала равно половине числа отсчетов. Это и служит основной причиной возникновения эффекта Гиббса, обусловленного ограниченным числом гармоник спектра.

Функции прямого и обратного преобразования Фурье не устраняют эффект Гиббса и требуют, чтобы число гармоник и число отсчетов сигнала было равно 2ⁿ.

Улучшить результаты моделирования при спектральном методе можно заменой дискретных отсчетов функции на плавную функцию y(t), полученную в результате интерполяции. При этом можно задавать произвольное число отсчетов по интерполируемой функции и получать сколь угодно большое чмсло гармоник для ее синтеза.

Пример 1. Спектральный анализ с прямой линейной интерполяцией функции между узлами.

Y1:= (0 0 1 1 1 0 0 0.5 0.5 1 1 1 0.5 0.5 0 0.25 0.25 0 0) – вектор – функция исходных данных y(t). n - частота, М:= 20 – число гармоник.

Y:= Y_i^T Ni:= length (Y) dt:= i:= 0 .. Ni-1 ti_i:= i·dt y(t):= linterp(ti, Y, t) - линейная интерполяция функции y(t).

Функция length(v) определяет число элементов в векторе v.

Функция linterp(vx, vy, t) – значение в точке t, вычисленное по линейной интерполяции данных с точками, координаты которых хранятся в векторах vx и vy.

Численный спектральный анализ:

N:= 2·M dt:= i:= 0 .. N-1 Y_i:= y(i·dt) p:= 2·π·f1·dt k:= 0 .. M j:=