Момент инерции твердого тела

Рассмотрим систему материальных точек. Как уже отмечалось ранее, импульс системы

где - число точек,

- импульс -ой точки.

Момент импульса

также является аддитивной величиной. Заметим также, что момент импульса, как и импульс, зависит от выбора системы отсчета.

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения

где и - масса и расстояние от оси вращения i-той частицы твердого тела.

Обозначив , получим
,

где
- момент инерции твердого тела относительно оси.

Момент инерции зависит от распределения массы относительно оси (а также от выбора самой оси) и является аддитивной величиной. Определение момента инерции твердого тела можно выполнить по формуле
,

где - плотность тела в данной точке,

и - масса и объем элемента, находящегося на расстоянии от оси .

В объеме с плотностью тела заключена масса .

Относительно оси в декартовой системе координат момент инерции можно определить как

Вычисление таких интегралов в общем случае – сложная задача, которая значительно упрощается в случае осесимметричных однородных тел.

Пример. Найти момент инерции однородного обруча.

Здесь все элементы массы распределены по окружности радиуса радиуса , то есть , и тогда .

Пример. Найти момент инерции однородного цилиндра ( - радиус, - высота) относительно оси, совпадающей с его осью.

1 вариант

Начало координат поместим в середине высоты на оси , совпадающей с осью цилиндра; , т.к. цилиндр однородный. Тогда

где - площадь сечения.

Для удобства введем цилиндрическую систему координат

, , ;

Учитывая, что , и, следовательно, величина, равная - масса цилиндра, получаем

Вариант 2

Выделим элементарные слои, находящееся на расстоянии от оси цилиндра, массой (рис. 22а)

Элементарный момент инерции такого слоя равен

и тогда суммарный момент инерции цилиндра равен

с учетом того, что .

Как видно из формулы, момент инерции цилиндра от высоты не зависит, то есть она пригодна и для диска.

Пример. Найти момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, перпендикулярно к нему.

Воспользуемся формулой

Тогда

Здесь - расстояние от оси,
- радиус стержня,
- длина стержня (рис. 22б).

Момент инерции относительно оси, проходящего через середину стержня перпендикулярно к нему:

Моменты инерции некоторых однородных тел относительно некоторой оси приведены в таблице. Здесь - масса тела.

Тело
Обруч (кольцо)
Тонкий стержень: 1. относительно середины 2. относительно конца		1. 2.
Диск (цилиндр): 1. относительно центра 2. относительно образующей		1. 2.
1. Шар 2. Сферическая оболочка		1. 2.

Вычисление момента инерции относительно какой-либо оси, не проходящей через центр масс тела, в некоторых случаях значительно упрощается при использовании теоремы Штейнера:

момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

Доказательство теоремы

, - радиусы-векторы, характеризующие положение -го элемента относительно осей, проходящих через точки О и С (оси перпендикулярны плоскости на рис. 23).