2015-06-24
5635. Вычисление значений элементарных функций от переменной 
.
Образцы стандартных примеров по разделу Некоторые сведения из ТФКП:
· Изобразить на плоскости и записать в показательной форме: 
, 
, 
, 
, 
.
· Вычислить: 
; 
; 
; 
.
· Вычислить: 
, 
.
Вопросы к разделу «Ряды»
1. Частичная сумма для числового ряда 
. Определение 
. Сходящиеся и расходящиеся ряды.
2. Необходимый признак сходимости числового ряда .
3. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда с положительными слагаемыми (
для 
).
4. Гармонический ряд. Обобщённый гармонический ряд. Сходимость гармонического и обобщённого гармонического рядов 
.
5. Признаки сравнения сходимости знакоположительных рядов.
6. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость.
7. Признак Даламбера (д’Аламбера) абсолютной сходимости ряда.
8. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
9. Оценка погрешности при замене 
частичной суммой 
(на примерах).
10. Функциональные ряды 
. Область сходимости функционального ряда.
|
|
|
11. Степенные ряды 
. Структура области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда.
12. Ряды Тейлора и Маклорена для функции 
. Достаточное условие выполнения равенства 
.
13. Ряды Маклорена для функций 
.
14. Использование рядов в приближённых вычислениях (с оценкой погрешности, на примерах).
Образцы стандартных примеров по разделу Ряды:
· Дан ряд 
(или 
, или 
и т.п.) Найти сумму первых четырёх слагаемых. Исследовать сходимость ряда.
· Найти область сходимости степенного ряда 
.
· Разложить функцию 
в ряд Тейлора в окрестности точки 
(или функцию 
в окрестности точки 
и т.п.). Указать область сходимости ряда.
· Вычислить приближённо 
(или 
и т.п.) (с погрешностью не более 1%), используя разложение подынтегральной функции в ряд.
Вопросы к разделу «Дифференциальные уравнения»
1. ДУ (дифференциальное уравнение) первого порядка, общий вид. ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной. Общее, частное и особое решения ДУ первого порядка.
2. ДУ с разделяющимися переменными.
3. Линейное ДУ первого порядка.
4. Задача Коши для ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
5. ДУ 
ого порядка, общий вид. ДУ ого порядка, разрешённое относительно старшей производной. Общее решение, частное решение.
6. Задача Коши для ДУ ого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
7. Линейно зависимые и линейно независимые функции на 
. Определитель Вронского.
8. Линейное ДУ ого порядка, однородное и неоднородное. Расшифровка символа 
.
9. Теорема о структуре общего решения уравнения 
. Фундаментальная система решений.
|
|
|
10. Теорема о структуре общего решения уравнения 
.
11. Линейные ДУ ого порядка с постоянными коэффициентами, однородные. Характеристическое уравнение. Вид фундаментальной системы решений в зависимости от значений корней характеристического уравнения.
12. Линейные ДУ ого порядка с постоянными коэффициентами, неоднородные. Метод неопределённых коэффициентов для решения уравнений с правой частью вида 
(на примерах).
13. Преобразование выражений 
) к виду 
.
Образцы стандартных примеров по разделу Дифференциальные уравнения:
· Найти общее решение уравнения 
.
· Найти решение задачи Коши , 
.
· Найти общее решение дифференциального уравнения 
при 
, или 
, или 
, или 
и т.п.
· Найти частное решение дифференциального уравнения 
. Ответ представить в виде 
.
· Найти частное решение дифференциального уравнения 
.
