2015-06-30
2681. Упростите выражение 
Ответ. 5.
Решение. 
2. В Мексике экологи добились закона, по которому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и «выходной» день недели этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые желают ездить ежедневно (каждый — по своим делам!). Сколько автомобилей должно быть в семье, если взрослых в ней а) 5 человек, б) 8 человек?
Решение. а) 5 автомобилей не хватит, а 6 — достаточно: нужно только позаботиться о том, чтобы их выходные были в разные дни; б) 9 автомобилей не хватит: в какой-то день недели 2 из них должны простаивать, так что на ходу только 7 автомобилей, а нужно 8. А 10 автомобилей достаточно: выходные можно распределить так, что каждый день будут простаивать не больше двух автомобилей.
3. Может ли n! оканчиваться ровно на 5 нулей?
Ответ. Нет.
Решение. В 24! — 4 нуля, а в 25! — уже 6 нулей.
4. Решите уравнение 
Ответ. 
Решение. Из данного уравнения следует, что 
Возводя обе части в квадрат и извлекая кубический корень, получаем: 
откуда 
Проверка показывает, что только 
— корень данного уравнения.
5. В треугольнике ABC сторона AB равна 2, Ð A = 60°. На стороне AC взята точка D так, что AD = 1. Чему равен Ð BDC?
Ответ. 90°.
Решение. Пусть E — середина AB, т.е. AE = EB = 1. Тогда D ADE — равносторонний, следовательно, DE = BE и D BED — равнобедренный. Значит, Ð DBE = Ð BDE = 
Ð DEA = 30°. И, следовательно, Ð BDC = Ð DBA + Ð DAB = 90°.
6. Найдите все значения параметра а, при которых отрезок 
принадлежит множеству решений неравенства 
Ответ. 
Решение. Область допустимых значений параметра описывается неравенством 
где 
Решением неравенства 
является промежуток (–2; 5). В итоге требуется решить систему неравенств:
7. Решите в целых числах систему уравнений 
Ответ. (1; 1; 0).
Решение. Из второго уравнения xy ³ 1, т.е. x и y одного знака, тогда (из первого уравнения) x > 0, y > 0.
8. Найдите многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число 
Решение. Пусть 
Тогда 
Значит, искомый многочлен имеет вид: 
