Рис.41. Выделенный эле-
которые действуют на плоскости S1 и S2. Как видно из рис., часть элемента между сечениями S1 и S2 остается неподвижной так, что изменение положения выделенного элемента сводится к перемещению отрезка, ограниченного сечениями S1 и S1 в новое положение между плоскостями S2 и S2. Пусть плотность жидкости в сечении S1 равна r1, а в сечении S2 - r2. Масса отрезка между сечениями S1 и S1 равна m1 = r1v1S1Dt, тогда как масса между S2 и S2 равна m2 = r2v2S2Dt; поэтому кинетическая и потенциальная энергии массы m1 равны:
|
|
= . (10-8)
Аналогично для массы m2:
= (10-9)
где h1 и h2 - высоты центров тяжести первого и второго элементов относительно выбранного уровня отсчета потенциальной энергии.
На основании закона сохранения механической энергии можно записать:
= . (10-10)
Работа силы f2 взята со знаком минус потому, что направление силы и направление перемещения противоположны друг другу.
Подставляя в уравнение (10-10) значения кинетических и потенциальных энергий (10-8) и (10-9), получаем:
= , (10-11)
откуда после сокращения на величину Dt (с учетом того, что v1S1 =v2 S2) следует:
= ,(10-12)
или в общем виде:
+ р = const. (10-13)
Выражения (10-12) и (10-13) представляют различные формы записи уравнения Бернулли, имеющего ряд важных следствий практического характера.Если дви-жение жидкости или газа происходит на постоянной высоте, то уравнение (10-13) упрощается: р = const, или = . (10-14)
Из этого уравнения следует, что давление внутри трубки тока зависит от скорости: там, где скорость меньше, давление больше, при увеличении скорости потока
давление в нем уменьшается. Это утверждение называют принципом Бернулли.
Возникновение подъемной силы крыла.
vп vп+vв Рис.42. Обтекание крыла воздушным потоком. | Профиль крыла изображен на рис.42. Воздушный поток, обтекая крыло, образует в области позади его вихрь, направление вращения которого показано на рис. По закону сохранения момента импульса вокруг крыла должен образоваться круговой поток с обратным направлением вращения16 (см.рис.42). Ес-ли обозначить скорость частиц в вихре вокруг крыла vв, то, как видно из рис., на верхней части крыла |
скорость вихря складывается со скоростью vп воздушного потока, тогда как под крылом скорость вихря направлена против скорости потока, и они вычитаются. Таким образом получается, что общая скорость воздуха над крылом больше, чем под крылом, и из принципа Бернулли следует, что давление в потоке воздуха под крылом больше, чем в потоке над крылом, т.е. возникает результирующая сила, направленная вверх и известная как подъемная сила.
|
|
Нечто похожее наблюдается при обтекании неподвижной крыши потоками воздуха при ураганных ветрах: внутри дома воздух неподвижен, тогда как на наружной части крыши его скорость достигает 40 М/c. В этом случае давление воздуха изнутри, которое больше наружного, как бы поднимает крышу вверх. При больших скоростях потока прочности конструкции скрепляющих балок может оказаться недостаточно; в этом случае ветер снесет крышу с дома.
Рис.43. Пульверизатор. | Еще одним примером проявления принципа Бернулли служит пульверизатор, который схематически изображен на рис.43. Если пробка сосуда, содержащего жидкость, плотно прижата, то при сжимании резиновой гру-ши образуется ток воздуха, давление в потоке уменьшается, и под давлением воздуха, находящегося внутри сосуда, жидкость устремляется вверх. Оконечность горизонтальной трубки сужена в виде сопла, что способствует еще большему увеличению скорости потока воздуха, который увлекает за собой капли поднимающейся |
жидкости. Аналогом пульверизатора является пульт для разбрызгивания краски или побелки. В домашних условиях обычно используется упрощенный вариант этого устройства, где поток воздуха создается обыкновенным пылесосом. Для этого достаточно всасывающий шланг присоединить к выходному отверстию пылесоса.
16 В реальных жидкостях существование такого потока доказывает эффект Магнуса: если поместить в движущуюся жидкость горизонтально расположенный цилиндр, способный свободно вращаться вокруг своей продольной оси, то цилиндр начинает вращаться так, что направление движения его верхних точек совпадает с направлением потока жидкости.