Малая теорема Ферма, кольца вычетов

№1 Кольца и поля вычетов

Преступим, в начале, к построению кольца вычетов . И так пусть - множество целых чисел, тогда обозначим символом фактор множество множества по отношению сравнимости по модулю .(то есть это множество классов эквивалентности таких, что два элемента и принадлежат данному классу тогда и только тогда когда - целое число, или и дают одинаковый остаток при делении на ). Обозначим за класс эквивалентности содержащей число . Тогда множество .Очевидно , . Докажем, что отношение сравнимости по модулю согласовано с операциями сложения и умножения.

Очевидно: Если и , то и это означает, что можно в множестве определить операции и . Докажем что коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Действительно: 1) коммутативность.

2) ассоциативность.

3) особая роль нуля.

4) докажем что существует: Пусть и , тогда и , так как для определённого выше , то утверждение очевидно.

5)

6)

7)

8)

Докажем, что есть поле, тогда и только тогда, когда простое число.

Необходимость: Поведём от противного, пусть , тогда , если - поле все элементы обратимы, а значит что противоречат условию.

Достаточность: Пусть простое число и докажем что

Умножим на все элементы кольца получим причём все они различны действительно если б , то чего не может быть так как простое число, но значит среди обязательно найдётся такое

Важно отметить, что в поле имеет место, следующее равенство:

Число называют характеристикой поля , обозначают .

Очевидно, что в поле для .

№2 Малая теорема Ферма

Лемма: В поле для , справедливо соотношение .

Доказательство: Очевидно, , рассмотрим подробнее выражение где , тогда учитывая, что и получим , откуда и следует утверждение леммы.

Теорема(Ферма): В поле для справедливо равенство: ()

Доказательство: Из леммы очевидна следующая цепочка равенств:

, и так далее имеем: , положим и , получим: , откуда и следует утверждение теоремы.