Практичне заняття №6. Відношення

1. Визначити, які властивості мають відношення, що задані на множині людей. Нехай , якщо:

a) вище на зріст, ніж ;

b) і народились в один день;

c) має те саме прізвище, що й ;

d) і мають спільних дідуся та бабусю;

e) є родичем ;

f) знайомий з .

2. Визначити, які властивості мають відношення, що задані на множині :

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) .

3. Визначити, чи відношення на множині цілих чисел рефлексивне, симетричне, антисиметричне, транзитивне, де , якщо:

a) ;

b) ;

c) або ;

d) .

4. Нехай . Опишіть відношення на :

a) рефлексивне, але не симетричне і транзитивне.

b) симетричне, але не рефлексивне і транзитивне.

c) транзитивне, але не симетричне і рефлексивне.

d) рефлексивне та симетричне, але не транзитивне.

e) симетричне і транзитивне, але не рефлексивне.

f) рефлексивне та транзитивне, але не симетричне.

5. Нехай . Встановіть, які відношення є відношенням еквівалентності:

d) .

6. Нехай – множина цілих чисел. На цій множині визначено відношення . Встановити чи є це відношення відношенням еквівалентності, якщо так, то побудувати фактор-множину:

a) ;

b) .

7. Які з наведених відношень на множині всіх людей є відношенням еквівалентності?

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

8. Наведіть приклад відношення, яке:

a) є симетричним і антисиметричним;

b) не є ані симетричним, ані антисиметричним.

9. Записати всі впорядковані пари, які утворюють відношення із множини в множину , де , якщо:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ділить ;

e) НСД =1.

10. Нехай і – бінарні відношення на множині , де . Побудувати відношення . Побудувати переріз відношень за елементами і відносно підмножини . Побудувати фактор-множину за відношенням .

11. Нехай і . Опишіть відношення .

12. Знайдіть відношення та , якщо відношення задане таким чином:

a) , якщо ;

b) , якщо - дільник ;

c) – множина країн світу, , якщо і країна межує з країною .

13. Нехай , а - відношення на , де

Опишіть .

14. Нехай дано множини і відношення :

, .

Визначити .

15. Нехай – деяка множина людей, – відношення „батько”, визначене на цій множині так, що , якщо – батько . Далі – відношення „брат-сестра”, визначене на множині за правилом , якщо і мають одну і ту ж пару батьків. Опишіть відношення . Виразіть через відношення і відношення – „двоюрідний брат-сестра”, де , якщо двоюрідний брат або сестра .

16. Нехай - множина студентів університету, - множина книг у бібліотеці. Нехай задано відношення , такі, що , якщо студент згідно навчальною програмою повинен під час навчання прочитати книгу , і , якщо студент під час навчання вже прочитав книгу . Дайте словесний опис відношень, що одержуються в результаті виконання операцій .

17. Які з наведених наборів підмножин множини можуть бути розбиттям цієї множини на класи еквівалентності:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

18. Нехай - відношення еквівалентності. Визначити, чи є відношення - відношеннями еквівалентності.

19. Нехай - відношення часткового порядку. Визначити, чи є відношення - відношеннями часткового порядку.

20. Які з наведених відношень на множині людей є відношеннями толерантності, а які відношеннями еквівалентності?

a) і однакового віку;

b) і мають спільних батьків;

c) і знайомі;

d) і розмовляють однією мовою.

21. Записати всі 16 різних відношень на множині . Скільки з них містять пару ?

22. Задайте три відношення еквівалентності на множині студентів вашої академічної групи. Визначте класи еквівалентності для цих відношень еквівалентності.

23. Знайти класи конгруентності для .