Практичне заняття №7. Алгебраїчні структури

1. Довести, що множина всіх цілих чисел, які діляться на 3, є абелевою групою відносно додавання.

2. Довести, що множина всіх векторів площини є абелевою групою відносно операції додавання.

3. У множині задано операцію . Довести, що множина є групою відносно операції .

4. Задати таблицею Келі операцію у множині , якщо дорівнює остачі від ділення добутку на число 6.

5. Довести, що множина всіх дійсних чисел виду , де є комутативним кільцем з одиницею.

6. Чи є полем множина всіх чисел виду ; , де .

7. Нехай у множині задано операції

.

Чи є полем множина ?

8. Доведіть, що алгебраїчні структури є кільцем, але не полем.

1) Множина цілих чисел: операції множення та додавання.

2) Множина цілих чисел, кратних деякому числу : операції множення та додавання.

3) Множина дійсних чисел виду , де і - цілі числа: операції множення та додавання.

4) Множина многочленів з дійсними коефіцієнтами від заданої змінної , в тому числі константи: операції множення та додавання.

5) Множина один елемент : операції визначено так .

6) Множина пар цілих чисел: операції визначено так , .

9. Доведіть, що алгебраїчні структури є полем.

1) Множина раціональних чисел: операції множення та додавання.

2) Множина дійсних чисел: операції множення та додавання.

3) Множина комплексних чисел: операції множення та додавання.

4) Множина дійсних чисел виду , де - раціональні числа: операції множення та додавання.

5) Множина двох елементів : операції визначено так , , , .

10. Визначте, чи замкнені дані операції відносно даних множин.

11. Побудуйте таблицю Келі для групи . Для кожного елемента визначте обернений.

12. Доведуть двосторонню дистрибутивність множення відносно віднімання у кільці :

; .