2015-07-14
284Азн.15.1. Няхай ε – эўклідава прастора. Лінейнае пераўтварэнне f: ε 
ε называецца артаганальным, калі 
Î ε 
.
Прыклад. У эўклідавай прасторы V2 са скалярным здабыткам 
аператар f: V2 V2 ( паварот на вугал a з прыкладу 11.3) з’яўляецца артаганальным.
Ул-ць.15.2. Адвольнае артаганальнае пераўтварэнне прасторы ε n з’яўляецца аўтамарфізмам (гэта значыць, біектыўным пераўтварэннем ε n).
Доказ. Няхай f: ε n ε n – артаганальнае адлюстраванне. Дакажам ін’ектыўнасць f. Ад процілеглага.. Калі 
і 
тады 
, значыцца, 
, а гэта супярэчыць умове .
Дакажам сюр’ектыўнасць 
. Няхай f не з’яўляецца сюр’ектыўным, тады падпрастора 
у ε n не роўная ε n. Калі 
- базіс ў ε n, тады вектары 
не ўтвараюць базіс ε n, значыцца, яны лінейна залежныя. Значыцца, існуюць 
R не ўсе роўныя нулю, такія, што 
і 
. З ін΄ектыўнасці f вынікае, што 
, а паколькі не ўсе каэфіцыенты 
роўныя 0, гэта супярэчыць таму, што - базіс ε n. ■
Ул-ць.15.3. Калі f: ε ε – артаганальны аператар, тады:
1) f захоўвае норму вектара (гэта значыць, што 
);
|
|
|
2) f захоўвае вугал паміж вектарамі
(гэта значыць, што 
ε \{ 
} 
= 
).
Доказ. 1) 
, значыцца 
.
2) 
, адкуль = .■
Ул-ць. 1 5.4. Лінейны аператар f: ε n ε n з’яўляецца артаганальным тады і толькі тыды, калі для адвольнага ортаўнармаванага базіса 
вектары 
таксама ўтвараюць ортаўнармаваны базіс.
Доказ. 1) З таго, што 
- ортаўнармаваны базіс па 15.3, атрымоўваем, што 
- таксама ортаўнармаваны базіс.
2) Няхай і ортаўнармаваныя базісы ε n. Няхай вектары 
маюць у базісе слупкі каардынат 
і 
. З лінейнасці f вынікае, што 
маюць таксама слупкі каардынат і у базісе . Адсюль па 14.8 атрымоўваем, што 
і 
.■
Азн.15.5. Матрвца A ÎMat(n´n;R) называецца артаганальнай, калі 
.
Прыклад.
Лемма 15.6. Калі A, B ÎMat(n´n;R) і 
X, Y ÎRn 
тады 
.
Доказ. 
. Паколькі , - адвольныя, разгледзім 
-слупок, у якога і -ы элемент роўны 1, а ўсе астатнія роўныя 0. Адпаведнв абазначым і 
Нескладана ўбачыць, што 
. З гэтага вынікае, што 
, значыцца, .■
Ул-ць.15.7. Артаганальны аператар эўклідавай праторы ε n у ортаўнармаваным базісе мае артаганальную матрыцу.
Доказ. Няхай - ортаўнармаваны базіс ε n, f: ε n ε n – артаганальны аператар і А - яго матрыца ў гэтым базісе. Разгледзім адвольныя вектары Î ε n, якія маюць слупкі каардынат , адпаведна ў дадзеным базісе. Тады вектары 
і 
маюць слупкі каардынат 
і 
адпаведна. З артаганальнасці f па 14.7 вынікае, што
, 
З лемы 15.6 вынікае, што .■
Ул-ць.15.8. Няхай у эўклідавай прасторы зададзены ортаўнармаваны базіс. Як вядома, кожнай матрыцы A ÎMat(n´n;R) адпавядае лінейны аператар f: ε n ε n, які ў гэтым базісе мае матрыцу А. Аператар f артаганальны тады і толькі тады, калі матрыца А артаганальная.
|
|
|
Доказ. (сам-на).
Ул-ць.15.9. Кампазіцыя артаганальных аператараў – артаганальны аператар.
Доказ. Няхай f: ε ε і g: ε ε - артаганальныя, тады Î ε
■
,
