Вывод уравнений математической физики

2.1. Вывести уравнение колебаний струны.

2.2. Используя уравнения Максвелла (система СИ)
, , ,

вывести волновое уравнение для электромагнитного поля в однородной среде – абсолютном диэлектрике () в отсутствие свободных зарядов ().
Ответ. .

2.3 Вывести уравнение поперечных колебаний вращающейся струны длины l, конец которой закреплён на перпендикулярной к ней оси, зная угловую скорость вращения w и линейную плотность струны r.

Указание. Сила натяжения струны

Ответ.

2.4. Вывести уравнение теплопроводности в стержне.
Указание. Количество тепла , проходящее через поперечное сечение стержня за время , выражается формулой , где – температура в точке в момент – площадь поперечного сечения стержня. Ответ. , где , – плотность, – удельная теплоёмкость.

2.5. Вывести трёхмерное уравнение теплопроводности.

Указание. Использовать закон теплопроводности Фурье , где – единичный вектор внешней нормали к поверхности .

2.6. Вывести уравнение продольных колебаний однородного стержня с плотностью и площадью поперечного сечения

Указание. Обозначить через перемещение точки стержня с абсциссой в момент времени .

Найти относительное удлинение отрезка стержня от точки до точки :

и применить закон Гука: .

Ответ. , где .

2.7. Однородный стержень плотности и длины , закреплённый в точке , растянут силой , приложенной к другому его концу. В момент времени действие силы мгновенно прекращается. Сформулировать начальные и краевые условия.