2015-07-21
3802.1. Вывести уравнение колебаний струны.
2.2. Используя уравнения Максвелла (система СИ)
, 
, 
, 
вывести волновое уравнение для электромагнитного поля в однородной среде – абсолютном диэлектрике (
) в отсутствие свободных зарядов (
).
Ответ. 
.
2.3 Вывести уравнение поперечных колебаний вращающейся струны длины l, конец которой закреплён на перпендикулярной к ней оси, зная угловую скорость вращения w и линейную плотность струны r.
Указание. Сила натяжения струны 
Ответ. 
2.4. Вывести уравнение теплопроводности в стержне.
Указание. Количество тепла 
, проходящее через поперечное сечение стержня за время 
, выражается формулой 
, где 
– температура в точке 
в момент 
– площадь поперечного сечения стержня. Ответ. 
, где 
, 
– плотность, 
– удельная теплоёмкость.
2.5. Вывести трёхмерное уравнение теплопроводности.
Указание. Использовать закон теплопроводности Фурье 
, где 
– единичный вектор внешней нормали к поверхности 
.
2.6. Вывести уравнение продольных колебаний однородного стержня с плотностью 
и площадью поперечного сечения 
Указание. Обозначить через 
перемещение точки стержня с абсциссой 
в момент времени 
.
Найти относительное удлинение отрезка стержня от точки 
до точки 
:
и применить закон Гука: 
.
Ответ. 
, где 
.
2.7. Однородный стержень плотности 
и длины 
, закреплённый в точке 
, растянут силой 
, приложенной к другому его концу. В момент времени 
действие силы мгновенно прекращается. Сформулировать начальные и краевые условия.
Указание. В момент сила натяжения 
во всех сечениях стержня одна и та же и равна 
.
Ответ. 
2.8 Вывести уравнение распространения звуковых колебаний в воздушной среде.
Ответ. 
, где 
- относительное изменение плотности, 
,
, 
, 
