Isbn 5-94057-051-8

Москва, 2002

УДК 514.11

ББК 22.151.0 Е45

Екимова М. А., Кукин Г. П.

Е45 Задачи на разрезание.—М.: МЦНМО, 2002.— 120 с.: ил. Се- рия: «Секреты преподавания математики».

Эта книга является первой книгой серии «Секреты преподавания ма- тематики», призванной изложить и обобщить накопленный опыт в области математического образования.

Данный сборник представляет собой одну из частей курса «Развиваю- щая логика в 5–7 классах». Ко всем задачам, приведенным в книге, даны решения или указания.

Книга рекомендуется для внеклассной работы по математике.

ББК 22.151.0

ISBN 5-94057-051-8

§ cКукин Г. П., Екимова М. А., 2002.

§ cМЦНМО, 2002.

Введение

В настоящее время традиционный взгляд на состав предметов, изуча- емых школьниками, пересматривается и уточняется. В школьную про- грамму вводятся различные новые предметы. Одним из таких пред- метов является логика.

Изучение логики способствует пониманию красоты и изящества рассуждений, умению рассуждать, творческому развитию личности, эстетическому воспитанию человека. Каждый культурный человек должен быть знаком с логическими задачами, головоломками, играми, известными уже несколько столетий или даже тысячелетий во многих странах мира. Развитие сообразительности, смекалки и самостоятель- ности мышления необходимо любому человеку, если он желает пре- успевать и достигнуть гармонии жизни.

Наш опыт показывает, что систематическое изучение формальной логики или фрагментов математической логики следует отложить на старшие классы средней школы. Вместе с тем, развивать логическое мышление необходимо как можно раньше. Фактически, при изучении учебных предметов в школе рассуждения и доказательства появляют- ся лишь в 7 классе (когда начинается систематический курс геомет- рии). Для многих учеников резкий переход (не было рассуждений — стало много рассуждений) непосильно тяжел. В курсе развивающей логики для 5–7 классов вполне можно научить школьников рассуж- дать, доказывать, находить закономерности. Например, при решении математических ребусов надо не только угадать (подобрать) несколько ответов, но и доказать, что получен полный список возможных отве- тов. Это вполне посильно пятикласснику.

Но в процессе преподавания логики в 5–7 классах средних школ учителя сталкиваются с определенными трудностями: отсутствие учебников, дидактических материалов, пособий, наглядных матери- алов. Все это приходится составлять, писать и рисовать самому учи- телю.

Одна из целей этого сборника — облегчить учителю подготовку и проведение занятий.

Дадим некоторые рекомендации по проведению уроков перед ра- ботой со сборником.

• Начинать обучать школьников логике желательно с пятого клас-

са, а может быть, и раньше.

• Преподавание логики должно вестись непринужденно, почти в импровизационном стиле. Эта видимая легкость на самом деле тре-

бует от учителя большой и серьезной подготовки. Неприемлемо, на- пример, вычитывать интересную и занимательную задачу из толстой рукописной тетради, как иногда делают учителя.

• Рекомендуем проводить занятия в нестандартной форме.

• Необходимо использовать на уроках как можно больше нагляд-

ного материала: различных карточек, картинок, наборов фигур, ил-

люстраций к решению задач, схем.

• Не стоит заниматься с младшими школьниками одной темой в течение длительного времени.

• При разборе темы нужно стараться выделять основные логиче-

ские вехи и добиваться понимания (а не зазубривания) этих моментов.

• Необходимо постоянно возвращаться к пройденному материалу. Это можно делать на самостоятельных работах, командных соревно-

ваниях (во время уроков), зачетах в конце четверти, устных и пись- менных олимпиадах, матбоях (во внеурочное время).

• Необходимо также использовать на занятиях развлекательные и

шуточные задания, иногда полезно сменить направление деятельно-

сти.

Данный сборник представляет собой одну из частей курса «Раз- вивающая логика в 5–7 классах» — «Задачи на разрезание». Эта часть апробировалась на уроках логики в 5–7 классах школы-лицея №74 г. Омска.

Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трак- тат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидско- го астронома Х века, жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале XX века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри

Э. Дьюдени. Особенно большое число существовавших ранее рекор- дов по разрезанию фигур побил эксперт австралийского патентного бюро Гарри Линдгрен. Он является ведущим специалистом в области разрезания фигур.

В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода реше- ния таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способ- ность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глу- бокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.

Вместе с тем, задачи на разрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математиче- ских задач. Из задач на разрезание родилась теорема Бойаи–Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно), а затем и третья проблема Гильберта: верно ли аналогичное утверждение для многогранников?

Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном мате- риале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

Сборник «Задачи на разрезание» разбит на два раздела. При ре- шении задач из первого раздела ученикам не понадобится знание основ планиметрии, а будет нужна именно смекалка, геометрическое вообра- жение и достаточно простые геометрические сведения, которые извест- ны всем. Второй раздел — это факультативные задачи. Сюда вошли задачи, для решения которых понадобится знание основных геомет- рических сведений о фигурах, их свойствах и признаках, знание неко- торых теорем. Каждый раздел разбит на параграфы, в которые мы постарались объединить задачи на одну тему, а они, в свою очередь, разбиты на уроки, содержащие каждый однородные задачи в порядке возрастания их трудности.

В первый раздел входит восемь параграфов.

1. Задачи на клетчатой бумаге. В этом параграфе собраны задачи, в которых разрезание фигур (в основном это квадраты и пря- моугольники) идет по сторонам клеток. Параграф содержит 4 урока, рекомендуем их для изучения учащимися 5-х классов.

2. Пентамино. В этом параграфе собраны задачи, связанные с фигурами пентамино, поэтому для проведения этих уроков желатель- но раздать детям наборы этих фигур. Здесь два урока, рекомендуем их для изучения учащимися 5–6-х классов.

3. Трудные задачи на разрезание. Здесь собраны задачи на разрезание фигур более сложной формы, например, с границами, являющимися дугами, и более сложные задачи на разрезание. В этом параграфе два урока, их мы рекомендуем проводить в 7-х классах.

4. Разбиение плоскости. Здесь собраны задачи, в которых нужно находить сплошные разбиения прямоугольников на плитки прямо- угольной формы, задачи на составление паркетов, задачи о наиболее плотной укладке фигур в прямоугольнике или квадрате. Рекомендуем этот параграф изучать в 6–7-х классах.

5. Танграм. Здесь собраны задачи, связанные с древней китай- ской головоломкой «Танграм». Для проведения этого урока желатель- но иметь эту головоломку, хотя бы сделанную из картона. Этот пара- граф рекомендуем для изучения в 5-х классах.

6. Задачи на разрезание в пространстве. Здесь учащихся знакомят с развертками куба, треугольной пирамиды, проводятся па- раллели и показываются различия между фигурами на плоскости и объемными телами, а значит различия в решении задач. Параграф содержит один урок, который рекомендуем для изучения учащимися 6-х классов.

7. Задачи на раскраску. Здесь показано, как раскраска фигуры помогает решать задачу. Доказать, что решение задачи на разрезание какой-нибудь фигуры на части возможно, нетрудно, достаточно предо- ставить какой-нибудь способ разрезания. А вот доказать, что разреза- ние невозможно, труднее. Сделать это нам помогает раскраска фигу- ры. В параграфе три урока. Их рекомендуем для изучения учащимися 7-х классов.

8. Задачи с раскраской в условии. Здесь собраны задачи, в ко- торых требуется раскрасить фигуру определенным образом, ответить на вопрос: сколько цветов понадобится для такой раскраски (наимень- шее или наибольшее количество) и т. д. В параграфе семь уроков. Их мы рекомендуем для изучения учащимися 7-х классов.

Во второй раздел входят задачи, которые можно решать на до- полнительных занятиях. Он содержит три параграфа.

9. Превращение фигур. В нем собраны задачи, в которых одна фигура разрезается на части, из которых составляется другая фигура. В этом параграфе три урока, на первом рассматривается «превраще- ние» различных фигур (здесь собраны достаточно легкие задачи), а на втором уроке рассматривается геометрия превращения квадрата.

10. Разные задачи на разрезание. Сюда входят различные за- дачи на разрезание, которые решаются различными методами. В этом параграфе три урока.

11. Площадь фигур. В этом параграфе два урока. На первом уроке рассматриваются задачи, при решении которых нужно разре- зать фигуры на части, а потом доказывать, что фигуры равносостав- лены, на втором уроке — задачи, при решении которых нужно исполь- зовать свойства площадей фигур.

Раздел 1

§1. Задачи на клетчатой бумаге

Урок 1.1

Тема: Задачи на разрезание на клетчатой бумаге.

Цель: Развивать комбинаторные навыки (рассмотреть различные способы построения линии разреза фигур, правила, позволяющие при построении этой линии не терять решения), развивать представления о симметрии.

Задачи 1.1–1.4 решаем на уроке, задача 1.5 — на дом.

Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две рав- ные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Спосо- бы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе.) Сколько всего решений име- ет задача?

Указание. Найти несколько решений этой задачи не так уж слож- но. На рис. 1 некоторые из них показаны, причем решения б) и в) оди- наковы, так как полученные в них фигуры можно совместить наложе- нием (если повернуть квадрат в) на 90 градусов).

Рис. 1

Но найти все решения и ни одно решение не потерять уже труднее. Заметим, что ломаная, делящая квадрат на две равные части, симмет- рична относительно центра квадрата, Это наблюдение позволяет шаг

за шагом рисовать ломаную с двух концов. Например, если начало ло- маной в точке A, то конец ее будет в точке B (рис. 2). Убедитесь, что для данной задачи начало и конец ломаной можно нарисовать двумя способами, показанными на рис. 2.

При построении ломаной, чтобы не потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила. Если следующее звено лома- ной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке пер- вым, а на другом вторым способом (на рис. 3 показаны два продолже- ния рис. 2 (а)). Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три (на рис. 4 показаны три продолжения рис. 2 (б)). Указанный поря- док действий помогает найти все решения.

Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4

Прямоугольник 3 × 4 содержит 12 клеток. Найдите пять спосо- бов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток (способы разрезания считаются раз- личными, если части, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе).

Прямоугольник 3 × 5 содержит 15 клеточек и центральная

клетка удалена. Найдите пять способов разрезания оставшейся фигу-

ры на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.

Квадрат 6 × 6 разграфлен на 36 одинаковых квадратов. Най-

дите пять способов разрезания квадрата на две равные части так, что-

бы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Задача 1.4 имеет более 200 решений. Найдите хотя бы 15 из

них.

Урок 1.2

Тема: Задачи на разрезание на клетчатой бумаге.

Цель: Продолжать развивать представления о симметрии, подго- товка к теме «Пентамино» (рассмотрение различных фигурок, кото- рые можно построить из пяти клеточек).

Задачи 1.6–1.11.

Можно ли квадрат 5 × 5 клеток разрезать на две равные части

так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток? Ответ обоснуйте.

Разделите квадрат 4 × 4 на четыре равные части так, чтобы

линия разреза шла по сторонам клеток. Сколько различных способов

разрезания вы найдете?

Разделите фигуру (рис. 5) на три равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7

Разделите фигуру (рис. 6) на четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Разделите фигуру (рис. 7) на четыре равные части так, что- бы линии разрезов шли по сторонам квадратов. Найдите как можно больше решений.

Разделите квадрат 5 × 5 клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части.

Урок 1.3

Тема: Задачи на разрезание на клетчатой бумаге.

Цель: Продолжать развивать представления о симметрии (осе- вой, центральной).

Задачи 1.12–1.16.

Разрежьте фигуры, изображенные на рис. 8, на две равные части по линиям сетки, причем в каждой из частей должен быть кру- жок.

Рис. 8 Рис. 9

Фигуры, изображенные на рис. 9, надо разрезать по линиям сетки на четыре равные части так, чтобы в каждой части был кружок. Как это сделать?

Разрежьте фигуру, изображенную на рис. 10, по линиям сет- ки на четыре равные части и сложите из них квадрат так, чтобы кру- жочки и звездочки расположились симметрично относительно всех осей симметрии квадрата.

Рис. 10

Разрежьте данный квадрат (рис. 11) по сторонам клеток так, чтобы все части были одинакового размера и формы и чтобы каждая содержала по одному кружку и звездочке.

Разрежьте квадрат 6 × 6 из клетчатой бумаги, изображенный

на рис. 12, на четыре одинаковые части так, чтобы каждая из них

содержала три закрашенные клетки.

Рис. 11 Рис. 12

Урок 1.4

Тема: Задачи на разрезание на клетчатой бумаге.

Цель: Научиться разрезать прямоугольник на две равные части, из которых можно сложить квадрат, другой прямоугольник. Научить- ся определять, из каких прямоугольников, разрезав их, можно соста- вить квадрат.

Задачи 1.17–1.22. Дополнительно задачи 1.23, 1.24 (эти задачи можно рассмотреть в начале урока для разминки).

Прямоугольник 4 × 9 клеток разрежьте по сторонам клеток

на две равные части так, чтобы из них затем можно было сложить

квадрат.

Можно ли прямоугольник 4 × 8 клеток разрезать на две

части по сторонам клеток так, чтобы из них можно было составить

квадрат?

Из прямоугольника 10 × 7 клеток вырезали прямоугольник

1 × 6 клеток, как показано на рис. 13. Разрежьте полученную фигуру

на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Из прямоугольника 8 × 9 клеток вырезали закрашенные фи-

гуры, как показано на рис. 14. Разрежьте полученную фигуру на две

равные части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник

6 × 10.

Рис. 13 Рис. 14

На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5 × 5 кле- ток. Покажите, как разрезать его по сторонам клеток на 7 различных прямоугольников.

Разрежьте квадрат 13 × 13 на 5 прямоугольников по сторо-

нам клеток так, чтобы все десять чисел, выражающих длины сторон

прямоугольников, были различными целыми числами.

Разделите фигуры, изображенные на рис. 15, на две равные части. (Разрезать можно не только по линиям клеток, но и по их диа- гоналям.)

Рис. 15

Разрежьте фигуры, изображенные на рис. 16, на четыре рав- ные части.

Рис. 16

§2. Пентамино

Урок 2.1

Тема: Пентамино.

Цель: Развитие комбинаторных навыков учащихся. Задачи 2.1–2.5.

Фигуры домино, тримино, тетрамино (игру с такими фигурками называют тетрис), пентамино составляют из двух, трех, четырех, пяти квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом.

Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фи- гуру — домино (см. рис. 17). Фигуры тримино можно получить из един- ственной фигуры домино, приставляя к ней различными способами еще один квадрат. Получится две фигуры тримино (рис. 18).

Рис. 17 Рис. 18

Составьте всевозможные фигуры тетрамино (от греч. слова

«тетра» — четыре). Сколько их получилось? (Фигуры, полученные поворотом или симметричным отображением из каких-либо других, не считаются новыми).

Составьте все возможные фигуры пентамино (от греч. «пен- та» — пять). Сколько их получилось?

Составьте фигуры, изображенные на рис. 19, из фигурок пен- тамино. Сколько решений имеет задача для каждой фигуры?

Рис. 19

Сложите прямоугольник 3 × 5 из фигурок пентамино. Сколько различных решений у вас получится?

Составьте фигуры, изображенные на рис. 20, из фигурок пен- тамино.

Рис. 20

Урок 2.2

Тема: Пентамино.

Цель: Развитие представлений о симметрии. Задачи 2.6–2.12.

В задаче 2.2 мы составляли все возможные фигуры пентамино.

Посмотрите их на рис. 21.

Рис. 21

Фигура 1 обладает следующим свойством. Если ее вырезать из бу- маги и перегнуть по прямой a (рис. 22), то одна часть фигуры совпадет с другой. Говорят, что фигура симметрична относительно прямой a — оси симметрии. У фигуры 12 тоже есть ось симметрии, даже две — это прямые b и c, а у фигуры 2 осей симметрии нет.

Рис. 22

Сколько осей симметрии имеет каждая фигура пентамино?

Из всех 12 фигур пентамино сложите прямоугольник 6 × 10.

Несимметричные куски разрешается переворачивать.

Сложите из двенадцати фигур пентамино прямоугольник

6 × 10, причем так, чтобы каждый элемент касался какой-нибудь сто-

роны этого прямоугольника.

Разрежьте прямоугольник, изображенный на рис. 23 (а), по внутренним линиям на две такие части, из которых можно сложить фигуру с тремя квадратными отверстиями размером в одну клетку (рис. 23 (б)).