До сих пор мы рассматривали расчет на изгиб стержней, сечение которых оставалось постоянным по длине. По конструктивным соображениям стержни, работающие на изгиб, часто имеют конусность, отверстия, выточки, ступеньки и т. д.
С точки зрения расчета на прочность и жесткость все такие стержни можно разделить на три основные группы:
а) стержни, имеющие местные изменения формы и размеров сечений (рис. 2.1.3, а).
Рис. 2.1.3
б) стержни ступенчато-переменного сечения (Рис. 2.1.3, б);
в) стержни, имеющие непрерывно изменяющиеся по длине размеры сечений.
Разумеется, есть много деталей, в которых сочетаются различные виды нарушения размеров.
Перейдем к рассмотрению каждой группы в отдельности.
Местные изменения формы и размеров сечений вызывают резкое и значительное изменение картины распределения напряжений и деформаций. Однако это изменение носит местный характер и на напряженное состояние и деформированное состояние стержня в целом влияет незначительно.
Для высокопластичных материалов (малоуглеродистые стали, алюминий, медь) и хрупких неоднородных материалов (чугунов) концентрацию напряжений можно не учитывать и условие прочности запишется в обычном виде:
|
|
;
Для однородных хрупких материалов (высокопрочные закаленные стали)
,
где - теоретический коэффициент концентрации, определяемый по справочным таблицам.
В обеих формулах - это момент сопротивления ослабленного сечения.
Ступенчатые стержни будут иметь концентраторы напряжений в местах сопряжения участков с различными размерами поперечного сечения. При чувствительности материала к концентрации напряжений необходимо проверять условие прочности для соответствующих сечений с учетом коэффициента .
Для определения перемещений в ступенчатом стержне можно пользоваться видоизмененным методом начальных параметров. Рассмотрим на примере использование данного метода.
Балка на Рис. 2.1.4. имеет два участка постоянного поперечного сечения. Преобразуем заданную ступенчатую балку в эквивалентную балку постоянного сечения с моментом инерции , равным моменту инерции одного из участков балки, например первого.
Разрезаем балку в местах изменения размеров поперечного сечения и прикладываем в местах разрезов соответствующие внутренние силовые факторы - и .
Умножаем нагрузку на каждом участке на коэффициент приведения
Соединяем отдельные части, получаем эквивалентную балку постоянного сечения. Эта балка будет нагружена приведенными внешними нагрузками и дополнительными силами и моментами в местах сопряжения участков. Для определения перемещений в полученной эквивалентной балке можно использовать универсальное уравнение упругой линии.
|
|
Стержни с непрерывно меняющимися по длине размерами поперечного сечения при незначительном угле наклона образующей к оси стержня (до 15 – 20 °) рассчитывают с использованием обычного условия прочности
и дифференциального уравнения упругой линии
Расчет на прочность и жесткость осложняется тем, что момент сопротивления и момент инерции сечения являются функциями абсциссы сечения.
Частным случаем балок с непрерывно меняющимися по длине размерами являются балки равного сопротивления изгибу, во всех сечениях которого максимальное напряжение равно допускаемому
.
Отсюда получают уравнение для определения размеров балки равного сопротивления:
Для прямоугольного поперечного сечения с постоянной шириной сечения и переменной высотой сечения балка равного сопротивления показана на рис. 2.1.5.
Балка равного сопротивления параболического очертания наиболее рациональна с точки зрения экономии материала, однако из-за сложности формы не удовлетворяет техническим требованиям. Поэтому на практике применяют не балки равного сопротивления, а близкие к ним ступенчатые стержни.