Функция полезности потребителя описывается формулой U = XY /2, где X – объём потребления бананов, Y – объём потребления пепси-колы. Цена 1 кг бананов 3$, 1 л пепси-колы – 2$, летом потребитель тратил на эти товары 20$ в неделю. Зимой цена бананов поднялась до 5$ за килограмм, цена пепси-колы не изменилась. Определите:
1) Объём оптимального потребления бананов и пепси-колы летом.
2) Величину расходов, необходимую зимой для достижения того же уровня полезности, что и летом.
3) Количественное значение эффекта дохода и эффекта замены.
Решение. Бюджетные возможности можно представить в виде равенства: M = PXX + PY Y, где:
X и Y – количество товаров, приобретаемых потребителем;
PX и PY – цена товаров X и Y;
M – доход потребителя.
Бюджетные возможности потребителя при покупке бананов (товар X) и пепси-колы (товар Y) летом можно выразить формулой 3 X + 2 Y = 20.
На основе этой формулы надо построить бюджетную линию. Наклон бюджетной линии определяется обратным соотношением цен и характеризует пропорцию замены или соотношение товаров X и Y в наборе:
NЗ = = , или = . По условию задачи = .
Равновесие потребителя достигается в точке касания бюджетной линии с графиком безразличия, где их углы наклона совпадают, а значит, соотношение товаров в наборе на графике безразличия должно соответствовать соотношению товаров на бюджетной линии и определяться соотношением цен. Иными словами для графика безразличия в точке касания MRSx y = ?Y / ?X = PX / PY.
Или, также как для бюджетной линии, соотношение товаров в наборе равно = .;
Соотношение товаров в наборе определяется соотношением цен, а количество товара X и товара Y зависит от величины дохода.
1. Для определения оптимального набора составим и решим систему уравнений:
3 X + 2 Y = 20;
Отсюда Y = 3/2 . X → 3 X + 2(3/2 . X) = 20 →
3 X + 3 X = 20, отсюда X = 3,3; соответственно Y = 5.
Оптимальное потребление составит 3,3 кг бананов и 5 л пепси-колы.
Определим величину общей полезности данного набора:
U = XY /2 = (3,3 . 5)/2 → U = 8,25.
Эта полезность соответствует всем наборам, находящимся на графике безразличия, который можно вывести из формулы полезности U = XY /2 и выразить функцией Y = 2 U / X → Y = 16,5/ X
2. Определим набор, соответствующий такому же уровню полезности, но при более высокой цене товара X.
Соотношение товаров в наборе изменится в связи с увеличением цены бананов (товар X): = .
Количество товара X и товара Y должно быть таким, чтобы при изменившемся соотношении общая полезность набора не изменилась, то есть новый набор должен находится на существующем графике безразличия. Составим и решим новую систему уравнений с учетом функции полезности:
1. = → Y = 5X/2
2. Y = 16,5/ X → 16,5 = Y X
16,5 = (5 X /2) . X
16,5 = 5 X 2/2 → 33 = 5 X 2 → X 2 = 6,7 → X = 2,6; Y = X . 5/2 = 6,5.
Набор 2,6 кг бананов и 6,5 л пепси-колы соответствует такому же уровню полезности, что и в первом наборе. Согласно свойствам графика безразличия уменьшение одного блага сопровождалось увеличением другого в такой пропорции, что общая полезность оставалось постоянной величиной.
Определим бюджет потребителя, соответствующий новому равновесному набору, исходя из формулы бюджетных возможностей:
M = PXX + PYY
M = 5 . 2,6 + 2 . 6,5 = 26$, то есть доход потребителя должен возрасти.
3. Эффект замещения составит (3,3 кг – 2,6 кг) = – 0,7 кг бананов и (6,5 кг – 5 кг) = + 1,5 пепси-колы.
Эффект дохода. Если бы покупатель тратил зимой на покупки 20$, то его оптимальный набор при новом соотношении цен составил бы 2 кг бананов и 5 л пепси-колы. Это можно определить, составив систему уравнений (см. п. 1).
1. 5 X + 2 Y = 20
2. =
Отсюда Y = 5/2 . X → 5 X + 2(5/2 . X) = 20 →
5 X + 5 X = 20, отсюда X = 2; соответственно Y = 5.
Следовательно, эффект дохода составляет 0,6 кг бананов (2,6 кг – 2 кг) 1,5 л пепси-колы (6,5 л – 5 л).