2. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Это раздел физики, изучающий все электромагнитные взаимодействия.
2.1. Электростатика
Электростатика изучает взаимодействие неподвижных электрических зарядов и свойства постоянного электрического поля.
2.1.5. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле
Получим формулу для потенциальной энергии точечного заряда q 0, находящегося в поле другого точечного заряда q. Для этого сопоставим формулы (2.12) и (2.13)
 .
Тогда потенциальная энергия равна
Из формулы (2.14) видно, что энергия зависит от величины заряда q, который создает поле и от величины заряда q 0, с помощью которого это поле обнаруживают. Поэтому W p не может служить характеристикой электростатического поля. В качестве энергетической характеристики вводится потенциал.
2.1.6. Потенциал. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом
Потенциалом называется скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии, которой обладает пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда
Потенциал поля точечного заряда q выражается формулой
Работу сил поля над зарядом q 0 можно выразить через разность потенциалов
Разность потенциалов (φ 1 - φ 2) равна напряжению U
Тогда работа по перемещению заряда в электрическом поле равна
За единицу потенциала принят вольт (В),
Существует связь между двумя характеристиками электрического поля: потенциалом и напряженностью. Для того, чтобы эту связь установить, надо вычислить работу по перемещению заряда q на расстояние d. Получим ее для однородного электрического поля, т. е. при  . По формуле (2.3)  .
По формулам механики (1.25)
 .
По формулам работы в электричестве (2.17)
 .
Приравнивая работы, получим
Здесь d - расстояние вдоль линии напряженности между двумя точками с потенциалами φ 1 и φ 2.
Согласно формуле (2.19), напряженность электрического поля выражается в вольтах на метр, причем
Вот такое математическое утверждение:  . 
Из того, что циркуляция для любого контура равна нулю, следует, что векторное поле  может быть выражено через некоторую функцию от  , называемую градиентом скалярного поля  :  . Любому скалярному полю j можно поставить в соответствие векторное поле  вот по такому рецепту. Это векторное поле называется градиентом скалярного поля j.
Смысл векторного поля. - это вектор, направление вектора это направление, в котором функция j меняется наиболее быстро. Направление вектора это направление быстрейшего изменения функции j, а величина вектора характеризует скорость изменения функции j в этом направлении. Ну, скорость по отношению к пространственному перемещению.
Температура, заведомо скалярная величина. В данной точке сунули термометр, он что-то показал, сунули в другую, он покажет другую температуру. А теперь, градиент от этого скалярного поля. Температура в данной точке такая, сместились в эту сторону на метр - другая температура, и так во все стороны, где температура выше, туда будет направлен её градиент  , а величина этого вектора  .
Другой пример - плотность. Имеем стационарную атмосферу. Направление градиента плотности воздуха будет по вертикали и именно сверху вниз (вниз плотность будет возрастать).
Вот смысл градиента.
Это следствие чисто математическое, это можно доказать. Что физически означает уравнение  ? Какую физическую интерпретацию можем ему дать?
Рассмотрим некоторую кривую с направлением. Вот имеем электрическое поле:
Возьмём точечный заряд q и будем перемещать заряд по заданной кривой из точки (1) в точку (2). Поскольку на заряд действует сила со стороны электрического поля, работа электрического поля при перемещении заряда вдоль кривой  равна:  . Работа, которая совершается электрическим полем при перемещении заряда, если я взял и принёс заряд из точки (1) в точку (2), а потом принёс его обратно (контур замкнулся!). То тогда следует, что  .
Работа по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю.
Это означает другое: что работа по перемещению заряда из точки (1) в точку (2) не зависит от пути перемещения.
Это, может быть, не очень очевидно. Вот я перешёл по некоторому пути из (1) в (2), поле совершило некоторую работу, кстати, эта работа положительна. Положу рельсы из точки (1) в точку (2). Поставлю на них вагончик от игрушечной железной дороги, помещу в вагончик заряд, и этот вагончик поедет, (избыток кинетической энергии перейдёт во внутреннюю). В точке (2) перевожу стрелки и пускаю вагончик по другому пути. Так вагончик будет ездить, к нему можно приделать вертушку... но известно, что циркуляция ноль, и построить вечного двигателя нельзя.
А теперь мы имеем такой математический результат:  . Электростатическое поле – это градиентное поле. Эта скалярная функция , градиентом которой является напряжённость электрического поля, называется потенциалом электрического поля.
Не всякое векторное поле можно получить как градиент потенциала. Электростатическое поле представляется одной скалярной функцией координат, а не тремя, как можно было бы думать по его векторному характеру. Задать одну функцию координат – и получим картину электрического поля.
Какой физический смысл этого скалярного поля?
 (*)
А теперь займёмся тем, что у нас стоит под интегралом.  , вектор - это есть:  , а вся подынтегральная конструкция   есть полный дифференциал.
Тогда, возвращаясь к формуле (*), мы пишем: 
Мы придём из точки (1) в точку (2), суммируя изменение потенциала. Мораль такая: вот у нас начальная точка  , заряд переносим в точку  , здесь значение потенциала j (), и работа равна  . Работа по перемещению заряда из одной точки в другую равна величине заряда, умноженной на разность потенциалов.
Теперь мы имеем два описания электростатического поля. Либо мы задаём напряжённость  , либо мы задаём в каждой точке потенциал j. Слова «разность потенциалов» вы должны понимать буквально – это разность. Вот синоним разности потенциалов, который употребляется в электротехнике, - напряжение. Это означает, что многие из вас склонные употреблять слова «напряжение в цепи» не знали их значения. Это синоним разности потенциалов.
Что означают слова, что напряжение городской сети 220 вольт? Вот есть две дырки (разность потенциалов между дырками 220V), если вы вырвете заряд из одной и будете с ним ходить, а потом вернёте его в другую дырку, то работа поля будет равна  V. Нагляднее пример с аккумулятором: вы взяли металлический шарик с клеммы аккумулятора, положили его в карман, ходили где-то с ним и потом приложили его ко второй клемме, то работа будет такая:  V.
 Там, где у нас было напряжение и разность потенциалов, добавьте такую формулу:  .
   Вот точка  , вот точка , эта кривая , и смысл такой: вот эта формула – универсальный железный рецепт для нахождения разности потенциалов. Если вы когда-нибудь сталкиваетесь с требованием или потребностью найти разность потенциалов между двумя точками, значит, рука должна автоматически писать эту формулу, а когда мы её напишем, потом можно думать. Слова «разность потенциалов» должны просто рефлекторно вызывать вот эту формулу.
О чём речь? В чём рецепт? Если вам надо найти разность потенциалов между одной точкой и другой, когда напряжённость поля во всём пространстве задана (вектор напряжённости поля), рецепт: соедините точку 1 с точкой 2 кривой и вычислите вот такой интеграл  . Результат не зависит от выбора пути, ну, и поэтому его можно всегда выбирать наиболее разумным способом.
Задания и вопросы для самоконтроля
1. Что называется потенциалом?
2. Как вычисляется работа по перемещению заряда в электростатическом поле?
3. Получите связь между напряженностью и разностью потенциалов для однородного электрического поля (формулу (2.19)).
4. Как найти разность потенциалов между одной точкой поля и другой?
|
2015-10-22
519
