Применение методов решения систем линейных уравнений

С Л У

DetA 0 Рекомендуемые методы решения:   -метод Гаусса -правило Крамера -с помощью обратной матрицы

DetA = 0 Рекомендуемые методы решения:   -метод Гаусса

Совместные определенные системы   Решение единственное

Совместные неопределенные системы   Решений бесконечно много

Несовместные системы     Решений нет

Замечания:

1).Если =0, 0 или 0 или 0, тогда – решений нет, так как формулы Крамера приводят к противоречивым выражениям, которые не выполняются ни при каких значениях неизвестных:

= = 0, = = 0, = = 0.

2).Если = = = = 0, тогда – имеет место неопределенность, т.е. система может иметь бесконечно много решений, или быть несовместной.

Однородная система линейных уравнений и ее решения

Определение

Система линейных уравнений

у которой столбец свободных членов - нулевой, называется однородной.

Однородная СЛУ (ОСЛУ) всегда совместна, так как нулевое решение (0,0,0) ей всегда удовлетворяет.

Поэтому, если однородная СЛУ имеет единственное решение, тогда оно -нулевое, так как для данного вида систем нулевое решение всегда имеет место.

Однородная СЛУ имеет ненулевые решения, если решений бесконечно много.

Утверждение (Критерий существования ненулевых решений ОСЛУ).

Для того, чтобы однородная СЛУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю.

Однородные СЛУ всегда совместны

DetA 0 Решение единственное нулевое   (0, 0, 0)

DetA = 0 Решений бесконечно много   Метод решения: - метод Гаусса

Пример. Решить однородную СЛУ

= = 30

Определитель однородной системы отличен от нуля, следовательно решение единственное – нулевое.

Ответ: (0,0,0).

Пример. Решить однородную СЛУ

= = 0

Определитель однородной системы равен нулю, следовательно - решений бесконечно много.

Общее решение ищем с помощью метода Гаусса

Далее записываем систему, соответствующую полученной ступенчатой матрице, и являющуюся эквивалентной исходной.

=> => ,

12.Матричные уравнения вида

Определение

Матричным уравнением называется выражение вида

=

или в краткой записи: = ,

где: = = =

, заданные матрицы, det ,

неизвестная матрица, которую надо найти.

Под решением матричного уравнения будем понимать матрицу , которая

обращает матричное уравнение в тождество.

Искать решение матричного уравнения будем с помощью обратной матрицы

= ó = ó = ó =

Пример. Решить матричное уравнение

=

Искать решение будем по формуле: =

где: = = =

=

= =

= =

Ответ: =