Деление отрезка в заданном отношении

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки А(х₁;у₁) и B(x₂;y₂) в заданном отношении > 0, т.е. найти координаты точки М (х;у) отрезка АВ такой, что (см. рис.).

Решение: Введем в рассмотрение векторы и . Точка М делит отрезок АВ в отношении , если

. (1)

Но т.е. и т.е.

Уравнение (1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координа­ты, получаем

т.е.

т.е. (2)

Формулы (2) и (3) называются формулами деления от­резка в данном отношении. В частности, при =1, т.е. если АМ=МВ, получаем координаты точки, делящей отрезок пополам , . В этом случае точка М(х; у) является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если = 0, то это означает, что точки А и М совпадают, если < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом.