Билинейные и квадратичные формы

Системы линейных уравнений. Матрицы

1. Определитель n^го порядка, определение по индукции. Свойства определителя.
2. Миноры, дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу). Теорема Лапласа.
3. Правило Крамера для систем n^го порядка.
4. Метод исключения Гаусса.
5. Ранг матрицы, базисный минор, линейная зависимость строк матрицы.
6. Операции над матрицами. Умножение матриц.
7. Присоединенная и обратная матрица.
8. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
9. Общая теория систем линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли. Решение произвольной системы линейных уравнений.

Линейные (векторные) пространства

1. Определение линейных пространств. Базис линейного пространства.
2. Конечномерные линейные пространства. Разложение вектора по базису. Связь между базисами, матрица перехода. Преобразование координат вектора.
3. Скалярное произведение. Евклидовы пространства. Длина вектора и угол между векторами. Неравенство Коши – Буняковского.
4. Ортогональный и ортонормированный базисы. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства.

Линейные отображения векторных пространств

1. Определение линейного отображения, свойства, примеры. Матрица линейного отображения. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект.
2. Действия над линейными операторами. Существование обратного оператора.
3. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные числа. Характеристический многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли.

Билинейные и квадратичные формы

1. Определение, матрицы. Теорема Лагранжа. Закон инерции.
2. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
3. Приведение квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду.

Рекомендуемая литература

Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра, М., Наука, 1988.

Беклемишев Д.В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М, Наука, 1984.

Канатников А.Н., Крищенко А.П., Линейная алгебра, М., Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры, М., Наука, 1971.

Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978.

Ефимов А.В., Каракулин А.Ф. и др., Сборник задач по математике для втузов, ч.1, М., Физматлит, 2001

Задание по курсу «Линейная алгебра»

1) Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств

L₁ = < a₁, a₂, a₃ > и L₂ = < b₁, b₂, b₃ >, если:

Вариант 1	a1 = (1, 2, 1) T	b1= (2, 3, -1) T
	a2 = (1, 1, -1) T	b2 = (1, 2, 2) T
	a3 = (1, 3, 3) T	b3 = (1, 1, - 3) T
Вариант 2	a1 = (1, 2, 1,-2) T	b1= (1, 1, 1, 1) T
	a2 = (2,3,1,0) T	b2 = (1, 0,1,-1) T
	a3 = (1, 2,2,-3) T	b3 = (1, 3,0, - 4) T
Вариант 3	a1 = (1, 1,0,0) T	b1= (1,0,1, 0) T
	a2 = (0,1, 1, 0) T	b2 = (0,2,1,1) T
	a3 = (0,0,1,1) T	b3 = (1, 2,1,2) T

2). Разложить вектор X на суммудвух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы a₁, a₂, a₃, а другой ортогонален к этому подпространству.

Вариант 1	X = (-3, 5, 9, 3) T
a1 = (1, 1, 1, 1) T	a2 = (2, - 1, 1, 1) T	a3 = (2, - 7, - 1, - 1) T
Вариант 2	X = (2,- 5, 3,4) T
a1 = (1, 3, 3, 5) T	a2 = (1, 3, -5, -3) T	a3 = (1, -5, 3, - 3) T
Вариант 3	X = (5, 2, - 2, 2) T
a1 = (2, 1, 1, - 1) T	a2 = (1, 1, 3, 0) T

3) Если линейный оператор φ, действующий в пространстве L _n, имеет n линейно независимых собственных векторов e₁, e₂, … e_n, соответствующих собственным числам λ₁, λ₂, …..λ_n, то в базисе из этих векторов матрица оператора имеет диагональный вид с диагональными элементами, равными собственным числам.

Для заданной матрицы оператора найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3

4). Линейный оператор φ переводит векторы a₁, a₂, a₃ соответственно в векторы b₁, b₂, b_3.

Найти матрицу оператора φ в том же базисе, в котором заданы координатами все векторы:

Вариант 1	a1 = (1, 2, -3) T	a2 = (0, 1, 2) T	a3 = (1, 0, 4) T
	b1= (1, 1, 1) T	b2 = (1, 2, 1) T	b3 = (0, 1, 1) T
Вариант 2	a1 = (1, 2, 1) T	a2 = (4, 3, - 2) T	a3 = (- 5, - 4, - 1) T
	b1= (1, 1, 1) T	b2 = (1, 0, 1) T	b3 = (0, - 1, 1) T
Вариант 3	a1 = (1, 1, 1) T	a2 = (2, - 3, 1) T	a3 = (4, 1, - 5) T
	b1= (0, 1, 0) T	b2 = (0, 1, 1) T	b3 = (1, 1, 0) T

5). Преобразовать к каноническому виду ортогональным преобразованием квадратичную форму и выписать преобразование координат

Вариант 1	x12 + 2x22 + 3x32 - 4x1x2 - 4x2x3
Вариант 2	3x12 - 8x1x2 - 3 x22 - x32 + 4x3x4 - 4x42
Вариант 3	4x12 + 4x1x2 - 12x1x3 - 6x2x3 + x22 + 9x32