Математический анализ

Вопросы для подготовки к экзаменам

1. Что такое числовая последовательность?

A. Все положительные функции называются числовой последовательностью.

B. Все виды функций с положительными значениями.

C. Числовой последовательностью наз-ся функция, заданная на множестве целых положительных чисел. Значения функции обозначают x_n=φ(n).

D. Числа, записанные в порядке убывания.

E. Числа, записанные в порядке возрастания.

2.Что такое предел числовой последовательности.

А. Пределом числовой последовательности {a_n} называется такое число А, если для , что при выполняется условие .

В. Пределом числовой последовательности {a_n} называется такое число А, если для , что при выполняется условие .

С. Пределом числовой последовательности {a_n} называется такое число А, если для , что при выполняется условие. .

Д. Пределом числовой последовательности {a_n} называется такое число А, если для , что при выполняется условие .

Е. Пределом числовой последовательности {a_n} называется такое число А, если для

, что при выполняется условие .

3. Первый замечательный предел.

A. . B. . C. . D. . E. .

4. Второй замечательный предел.

A. . B. . C. . D. . E. .

5. Некоторые важные виды пределов

А. . B. ; . C. .

D. ; . E. ; .

6. Что называется дифференциалом функции y= φ(x) в т. х₀

A. Дифференциалом функции называется выражение .

B. Дифференциалом функции называется производная .

С. Дифференциалом функции y= φ(x) в т. х₀ называется произведение производной

на приращение dx и обозначается dy=.

Д.Дифференциалом функции называется выражение .

Е.Дифференциалом функции называется выражение .

7. Основные правила дифференцирования

A. B. С.

D. E.

8. Найти производную сложной функции y= ln (3x²+7x+1)

A . B.6x+7. C. . D. . E.

9. Найти производную второго порядка функции

A.cosx². B.2cosx²-4x²sinx². C.2cosx. D.2x+cosx². E.2sinx+cosx

10. Найти частную производную по х от функции двух переменных z=x²+y²

A. B. C. D. E.

11. Найти частную производную по y от функции двух переменных z=x²+y²

A. B. C. D. E.

12. Найти частную производную второго порядка по х функции z=x²+siny

A. B. C. D. E.

13. Что такое асимптота графика функции y= φ(x)

A. Прямая, пересекающая график в двух точках.

B. Прямая, пересекающая начало координат.

С.Асимптотой графика функции y= φ(x) называется прямая, расстояние до которой от точек, лежащих на графике, стремится к нулю, когда эта точка неограниченно удаляется от начала координат, оставаясь на графике функции.

D. Прямая, соединяющая точку на графике функции с началом системы координат.

Е. Асимптотой графика функции y= φ(x) называется прямая, пересекающая график функции только в одной точке.

14. Какая прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции y= φ(x)

A.Прямая у=в называется горизонтальной асимптотой графика, если .

B.Прямая у=в называется горизонтальной асимптотой графика, если .

C.Прямая у=в называется горизонтальной асимптотой графика, если .

D.Прямая у=в называется горизонтальной асимптотой графика, если

E.Прямая у=в называется горизонтальной асимптотой графика, если

15. Какая прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y= φ(x)

A. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой функции y= φ(x), если выполняется условие: , т.е. в окрестности точки А значение функции неограниченно взрастает или убывает.

B. Прямая называется вертикальной асимптотой функции y= φ(x), если функция в окрестности точки x = a стремится к нулю.

C. Прямая называется вертикальной асимптотой функции y= φ(x), если функция в точке x = a имеет точку разрыва.

D. Прямая называется вертикальной асимптотой функции y= φ(x), если функция в точке x = a имеет разрыв первого рода.

E. Прямая называется вертикальной асимптотой функции y= φ(x), если функция в точке x = a имеет разрыв второго рода.

16. Какая прямая называется наклонной асимптотой функции y= φ(x)

А.Прямая называется наклонной асимптотой функции y= φ(x), где ,

В.Прямая называется наклонной асимптотой функции y= φ(x), где ,

С.Прямая называется наклонной асимптотой функции y= φ(x), где ,

Д.Прямая называется наклонной асимптотой функции y= φ(x), где ,

Е.Прямая y= kx+b, где , .

17Какие точки являются точками экстремума.

А.Точки максимума. В.Точки минимума.С.Точки максимума и минимума называются точками экстремума

Д.Точки, в которых функция не принимает значения. Е.Точки, в которых значения функции равны 0.

18. Необходимый признак существования экстремума

A. Если φ(x) имеет в точке х=с экстремум и дифференцируема в этой точке, то

B. Если φ(x) имеет в точке х=с экстремум и дифференцируема в этой точке, то

C. Если φ(x) имеет в точке х=с экстремум и дифференцируема в этой точке, то

D. Если φ(x) имеет в точке х=с экстремум и дифференцируема в этой точке, то

E. Если φ(x) имеет в точке х=с экстремум и дифференцируема в этой точке, то

19. Достаточный признак существования экстремума

A. Если непрерывная функция y= φ(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х=с, и если при переходе слева направо через точку С меняет знак с - на +, то х=с есть точка максимума, а при перемене знака с + на - точка минимума

B. Если непрерывная функция y= φ(x) имеет производную только в одной точке некоторого интервала, содержащего точку х=с, и если при переходе слева направо через точку С меняет знак с + на -, то х=с есть точка максимума, а при перемене знака с – на + точка минимума

C. Если непрерывная функция y= φ(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х=с, и если при переходе слева направо через точку С меняет знак с + на -, то х=с есть точка максимума, а при перемене знака с – на + точка минимума

D. Если непрерывная функция y= φ(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х=с, и если при переходе слева направо через точку С меняет знак с + на -, то х=с есть точка минимума, а при перемене знака с – на + точка максимума

Е.Если непрерывная функция y= φ(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х=с, и если при переходе справа на лево через точку С меняет знак с + на -, то х=с есть точка максимума, а при перемене знака с – на + точка минимума

20. Какая функция называется первообразной для функции f(х)?

А.Функция F(x), . В.Функция F(x), f(х). С.Функция F(x), +С.

Д.Функция +C. Е.Функция F(x), которая имеет общие точки с функцией y= f(х).

1. Что называется неопределенным интегралом φ(x).

А.Неопределенным интегралом называется любая первообразная функции φ(x)

В.Неопределенным интегралом называется множество функций F(x), для которых

С.Неопределенным интегралом функции φ(x) называется функция F(x),

Д.Совокупность всех первообразных функций φ(x) называется неопределенным интегралом

функции и обозначается

Е.Неопределенным интегралом функции φ(x) называется предел отношения приращения к

приращению аргумента , при котором

22..Свойства неопределенного интеграла

A. ; , где с – любое число

B.

C. ; , где с >1

D. . E. ;

23.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла

A B. . C. !

D. . E.

24. Вычислите интеграл

А.F(x)=xcosx-sinx. В.F(x)=x²cosx. С.F(x)=-xcosx+sinx. Д.F(x)=2x+cosx

Е.F(x)=xcosx+2xsinx

25.Вычислить интеграл .

А.-1. В. . С.1. Д. 2. Е.0.

26.Что называется определенным интегралом?

A. Определенным интегралом называется символ

B. Предел интегральных сумм при n так, чтобы d=max , 0 , где a=x₀<x₁<…<x_n=b, ели этот предел существует, называется определенным интегралом и обозначается .

C. Определенным интегралом называется значение интеграла вида .

D. Определенный интеграл – число, равное , где .

E. Определенным интегралом называется выражение вида .

27. Перечислите основные свойства определенного интеграла

A. ; , c – любое число. ,

(а<c<b)

B. ; ; ;

, c <1

C. ; ; ;

, c – любое число, , (а<c<b).

D. ; ; ;

, (а<c<b)

E. ; ; , c – любое число

25.Вычислите длину дуги кривой y= φ(x) с граничными точками , .

A. ю B. . C. . D. . E. .

28.Формула вычисления объема тела вращения, образованного вращение графика функции , заданного и непрерывного на отрезке , вокруг оси (ОХ).

A. B. C. D.

E.

29.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью (ОХ) и прямыми х=а и х=b

A. . B. . C. . D. . E.

30.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций , х=0, х=3, у=0

A. . B. 6,5. C.27. D.40,5. E. 81

31.Вычислите несобственный интеграл

A. не существует В.1 С.0,5 Д.0 Е-1

32. Найти частную производную второго порядка по х функции z=x²+siny

A. B. C. D. E.

33. Определение максимума функции

A. Максимумом функции называется значение функции в точке Р₀(х₀,у₀), если существует такая окрестность Р₀, в которой для всех точек Р(х,у) из этой окрестности, отличных от Р₀, выполняется условие

B. Максимумом функции называется значение функции в точке Р₀(х₀,у₀), если существует такая окрестность Р₀, в которой для всех точек Р(х,у) из этой окрестности, отличных от Р₀, выполняется условие

C. Максимумом функции называется значение функции в точке Р₀(х₀,у₀), если существует такая окрестность Р₀, в которой для всех точек Р(х,у) из этой окрестности, отличных от Р₀, выполняется условие

D. Максимумом функции называется значение функции в точке Р₀(х₀,у₀), если существует такая окрестность Р₀, в которой для всех точек Р(х,у) из этой окрестности, отличных от Р₀, выполняется условие

E. Максимумом функции называется значение функции в точке Р₀(х₀,у₀), если существует такая окрестность Р₀, в которой для всех точек Р(х,у) из этой окрестности, отличных от Р₀, выполняется условие

34.Определение минимума функции

A. Минимумом функции называется такое значение функции в точке Р₀(х₀,у₀), если существует такая окрестность точки Р₀, в которой выполняется условие < , для любых точек Р(х,у), принадлежащих этой окрестности, Р(х,у)≠ Р₀(х₀,у₀)

B. Минимумом функции называется такое значение функции в точке Р₀(х₀,у₀), если существует такая окрестность точки Р₀, в которой выполняется условие ≤ , для любых точек Р(х,у), принадлежащих этой окрестности, Р(х,у)≠ Р₀(х₀,у₀)

C. Минимумом функции называется такое значение функции в точке Р₀(х₀,у₀), если существует такая окрестность точки Р₀, в которой выполняется условие > , для любых точек Р(х,у), принадлежащих этой окрестности, Р(х,у)≠ Р₀(х₀,у₀)

D. Минимумом функции называется такое значение функции в точке Р₀(х₀,у₀), если существует такая окрестность точки Р₀, в которой выполняется условие ≥ , для любых точек Р(х,у), принадлежащих этой окрестности, Р(х,у)≠ Р₀(х₀,у₀)

E. Минимумом функции называется такое значение функции в точке Р₀(х₀,у₀), если не существует такая окрестность точки Р₀, в которой выполняется условие < , для любых точек Р(х,у), принадлежащих этой окрестности, Р(х,у)≠ Р₀(х₀,у₀).

35.Необходимое условие существования экстремума функции в точке Р₀(х₀,у₀)

A. , при х=х₀; у=у₀

B. в точке Р₀

C. в точке Р₀

D. в точке Р₀

E.

36.. Достаточное условие экстремума функции в точке Р₀(х₀,у₀)

A.

B.

C.

D.

E.

37. Определение дифференциального уравнения

A. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию у, переменную х, т.е. уравнения вида

B. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию у, переменную х, ее первообразную, т.е

C. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию у, переменную х, производную первого порядка неизвестной функции у, т.е. уравнения вида

D. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию у, переменную х, производные различных порядков неизвестной функции у, т.е. уравнения вида

E. Дифференциальным уравнением называется уравнения вида .

38.Найдите общее решение дифференциального уравнения

A. y=cx⁴ В. y= x²(c+x²) С.y=lnx+c Д.y=c+x⁴ Е.y=cx²+x³

39.Найдите решение задачи Коши , y(1)=1

B. y= x²

C. y=2x⁴

D. y= x³

E. y= x⁴

F. y=x⁵

40.Найдите общее решение дифференциального уравнения

A.

B.

C.

D.

E.

41. Определение числового ряда

A. Числовым рядом называется сумма нескольких чисел

B. Числовым рядом называется сумма n различных слагаемых

С. Любое количество слагаемых, расположенных в порядке возрастания, называется числовым рядом

D. Cумма двух или нескольких чисел, расположенных в определенном порядке, называется числовым рядом

E. Бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения, называется числовым рядом

42. Определение сходящегося числового ряда

A. Ряд называется сходящимся, если

B. Ряд называется сходящимся, если он состоит из конечного числа слагаемых

C. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел n-ых сумм ряда S_n при

D. Ряд называется сходящимся, если

E. Ряд называется сходящимся, если общий член ряда стремится к 0

43. Что называется N-ой частичной суммой числового ряда

A. N-ой частичной суммой числового ряда называется число а₁+а₂

B. N-ой частичной суммой числового ряда называется сумма первых n членов числового ряда а₁+а₂+…+а_n=S_n

С. N-ой частичной суммой числового ряда называется число а_n

D. N-ой частичной суммой числового ряда называется число

E. N-ой частичной суммой числового ряда называется число S-S_n, где S – сумма ряда, Sn- общий член ряда

44. Укажите необходимое условие сходимости числового ряда

A. . B. . C. D. . E.

45. Признак Даламбера

A. Если существует для знакоположительного числового ряда , то при d<1 ряд сходящийся, при d>1 расходящийся, при d=1 вопрос открыт

B. Если существует для знакоположительного числового ряда , то при d<1 ряд сходящийся, при d>1 расходящийся, при d=1 вопрос открыт

C. Если существует для знакоположительного числового ряда , то при d>1 ряд сходящийся, при d<1 расходящийся, при d=1 вопрос открыт

D. Если существует для знакоположительного числового ряда , то при d<1 ряд сходящийся, при d>1 расходящийся

E. Если существует для знакоположительного числового ряда , то при d<1 ряд сходящийся, при d>1 расходящийся, при d=1 вопрос открыт

46. Признак Коши

A. Пусть для знакоположительного ряда существует предел , тогда при k<1 ряд сходящийся, при k>1 расходящийся, при k=1 вопрос открыт

B. Пусть для знакоположительного ряда существует предел , тогда при k=1 ряд сходящийся, при k>1 расходящийся, при k<1 вопрос открыт

C. Пусть для знакоположительного ряда существует предел , тогда при k>1 ряд сходящийся, при k<1 расходящийся, при k=1 вопрос открыт

D. Пусть для знакоположительного ряда существует предел , тогда при k<1 ряд сходящийся, при k>1 расходящийся, при k=1 вопрос открыт

E. Пусть для знакоположительного ряда существует предел , тогда при k<1 ряд сходящийся, при k=1 расходящийся, при k=1 вопрос открыт.