ЧАСТЬ I. Механика
Тема 1. Кинематика поступательного и вращательного движения.
Кинематика поступательного движения
Положение материальной точки А в декартовой системе координат в данный момент времени определяется тремя координатами x, y и z или радиусом-вектором – вектором, проведенным из начала системы координат в данную точку (рис. 1).
Движение материальной точки определяется в скалярном виде кинематическими уравнениями: x = x(t), у = y(t), z = z(t),
или в векторном виде уравнением: .
Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой при её движении в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.
Материальная точка, двигаясь по произвольной траектории, за малый промежуток времени D t переместиться из положения А в положение В, пройдя при этом путь D s, равный длине участка траектории АВ (рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в момент времени t в конечное положение точки в момент времени(t+ D t), называется перемещением, то есть .
Вектором средней скорости называется отношение перемещения к промежутку времени D t, за который это перемещение произошло:
.
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения .
Мгновенной скоростью (скоростью движения в момент времени t) называется предел отношения перемещения к промежутку времени D t, за который это перемещение произошло, при стремлении D t к нулю:
,
где – первая производная от функции по времени t, которую принято обозначать также в виде .
Вектор мгновенной скорости направлен по касательной, проведенной в данной точке к траектории в сторону движения. При стремлении промежутка времени D t к нулю модуль вектора перемещения стремится к величине пути D s, поэтому модуль вектора может быть определен через путь D s:
.
Если скорость движения точки со временем изменяется, то быстрота изменения скорости движения точки характеризуется ускорением.
Средним ускорением в интервале времени от t до (t + D t) называется векторная величина, равная отношению изменения скорости () к промежутку времени D t, за который это изменение произошло: .
Мгновенным ускорением или ускорением движения точки в момент времени t называется предел отношения изменения скорости к промежутку времени D t, за который это изменение произошло, при стремлении D t к нулю:
,
где – первая производная от функции по времени t,
– вторая производная от функции по времени t.
Эти производные принято обозначать соответственно в виде: и .
Вектор ускорения может быть разложен на две составляющие:тангенциальную и нормальную , то есть:
.
Тангенциальная составляющая определяет быстроту изменения модуля скорости : .
Вектор направлен по касательной к траектории движения и для ускоренного движения совпадает с направлением вектора скорости , а для замедленного движения – противоположен вектору скорости .
Нормальная составляющая определяет быстроту изменения направления скорости : ,
где r – радиус кривизны траектории движения.
Вектор направлен по нормали к траектории движения к центру ее кривизны (поэтому нормальную составляющую ускорения называют также центростремительным ускорением).