Приклади розв'язання задач до контрольної роботи 3

Задача 1. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .

Розв'язання. Очевидно, .

Знайдемо критичні точки функції.

;

а) ; ; ;

б) не існує, очевидно, при і .

Всі критичні точки належать відрізку . Знайдемо значення функції в цих точках, а також на кінцях відрізка.

;

Таким чином, , .

Задача 2. Рибалці треба переправитися з острова на острів (рис. 1). Щоб поповнити свої запаси, він повинен попасти на ділянку берега . Знайти найкоротший шлях рибалки .

Розв'язання. Позначимо відстань від проекції точки на лінію берега до ділянки , де повинен висадитися для поповнення своїх запасів рибалка через .Щоб полегшити розрахунки, перейдемо до іншого масштабу, зменшивши всі відстані в 100 разів. Тоді, очевидно, і

Знайдемо найменше значення функції на відрізку .

;

Оскільки , то ;

;

Знайдемо значення функції в точці і на кінцях відрізку .

;

Враховуючи зміну масштабу при обчисленні, маємо, що найкоротший шлях рибалки приблизно дорівнює

Задача 3. При підготовці до екзамену студент за днів вивчає -ту частину курсу, а забуває -ту частину. Скільки днів потрібно затратити на підготовку, щоб була вивчена максимальна частина курсу, якщо , а ?

Розв'язання. Складемо функцію залежності обсягу вивченого матеріалу від кількості витрачених на вивчення цього матеріалу днів

Знайдемо значення , при якому ця функція досягає найбільшого значення на проміжку .

, (очевидно, ).

; ; ;

; ; .

За змістом задачі зрозуміло, що за 5 днів студент вивчить максимальну частину курсу.

Задача 4. Тіло масою кг падає з висоти м і втрачає масу (згоряє) пропорційно часу падіння. Коефіцієнт пропорційності кг/с. Вважаючи, що початкова швидкість , прискорення м/с², і нехтуючи опором повітря знайти найбільшу кінетичну енергію тіла.

Розв'язання. Формула для обчислення кінетичної енергії має вигляд

а формула для обчислення швидкості тіла, що падає – , де – маса тіла, а – швидкість тіла.

Очевидно, у нашому випадку в кожен момент часу

Знайдемо час, за який тіло досягне поверхні Землі, скориставшись формулою

Оскільки м, м/с², то с.

Таким чином, треба знайти найбільше значення функції на відрізку .

Точка є кінцем відрізка , а точка не належить цьому відрізку. Оскільки при маємо , то найбільшу кінетичну енергію тіло матиме в момент зіткнення з поверхнею Землі

дж.

Задача 5. Знайти асимптоти і побудувати графік функції .

Розв'язання. 1. Знайдемо область визначення функції

Очевидно, .

Визначимо поведінку функції, коли аргумент наближається до кінців інтервалів області визначення.

; очевидно, також ;

; .

Прямі і є вертикальними асимптотами графіка функції.

2. . Функція парна, її графік симетричний відносно осі .

3. Знайдемо похилі асимптоти

, де , .

;

Таким чином, пряма є асимптотою графіка функції. Оскільки функція парна, то пряма також є асимптотою її графіка.

а) Знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю

;

не належить до області визначення функції.

б) Очевидно, похідна існує в усіх точках області визначення.

Маємо дві критичні точки і .

При маємо , а при маємо . Значить, на інтервалі функція зростає, а на інтервалі – спадає. При функція має максимум .

Оскільки функція парна, то на інтервалі вона зростає, а на інтервалі – спадає і при має максимум .

5. Виходячи з результатів дослідження, будуємо графік функції

Задача 6. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік.

Розв'язання. 1. Знайдемо область визначення функції.

Очевидно, .

Визначимо поведінку функції, коли аргумент наближається до кінців інтервалів області визначення.

; ;

; .

Пряма є асимптотою графіка функції.

2. – функція загального вигляду.

3. Знайдемо похилі асимптоти

, де .

;

Пряма є асимптотою графіка функції.

4. .

а) Знайдемо точки, в яких .

б) Очевидно, не існує в точці , яка не належить до області визначення функції.

Таким чином, функція має одну критичну точку .

5. .

а) Очевидно, в жодній точці не дорівнює нулю.

б) не існує в точці .

6. Зведемо дані дослідження в таблицю.

	–2
+		–	не існує	+
–	–	–	не існує	–
	–3		не існує
	максимум		– верт. асимптота

7. Будуємо графік функції.

Задача 7. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік.

Розв'язання. 1. Знайдемо область визначення функції.

Таким чином, .

Визначимо поведінку функції, коли аргумент наближається до кінців інтервалів області визначення.

; ;

; .

Бачимо, що пряма є горизонтальною асимптотою, а прямі та є вертикальними асимптотами.

2. За формою області визначення робимо висновок, що – функція загального вигляду.

3. Знайдемо похилі асимптоти

, де .

З цього виходить, що графік функції має лише горизонтальну (з похилих) асимптоту, яку ми визначили раніше ().

4. .

а) не дорівнює нулю в жодній точці.

б) Очевидно, не існує в точках і , які не належать області визначення функції.

5. .

а) – не належить області визначення функції.

б) Очевидно, не існує в точках і .

6. Зведемо одержані результати дослідження в таблицю.


+	не існує	не існує	+
–	не існує	не існує	+
	не існує	не існує
	– верт. асимптота	– верт. асимптота

7. Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю .

; ; ; ;

; ; .

8. Будуємо графік функції.

Задача 8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік.

Розв'язання. 1.Очевидно, областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, причому

якщо , то ,

якщо , то .

Вертикальних асимптот графік функції, очевидно, не має.

2. ; – функція загального вигляду.

3. Знайдемо похилі асимптоти

, де .

;

Таким чином, пряма є похилою асимптотою графіка функції.

а) .

б) не існує, очевидно, при , або .

Функція має три критичні точки: .

а) не дорівнює нулю в жодній точці.

б) не існує, очевидно, при та .

6. Зведемо одержані результати дослідження в таблицю.


+	не існує			–	не існує	+
+	не існує	–	–	–	не існує	–

	точка перег.		максимум		мінімум

7. Будуємо графік функції.

Задача 9. 1. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік.

Розв'язання. 1. Знайдемо область визначення функції.

Таким чином, .

Очевидно, функція періодична з періодом .

Визначимо поведінку функції, коли аргумент наближається до кінців інтервалів області визначення.

Звідси маємо, що прямі є вертикальними асимптотами.

2. .

– функція парна, її графік симетричний відносно осі .

3. .

а) . Враховуючи область визначення функції, маємо .

б) не існує в точках , які не належать області визначення функції.

4. .

а) не дорівнює нулю в жодній точці.

б) не існує в точках .

5. Зведемо одержані дані в таблицю (для відрізку ).


не існує	+		–	не існує
не існує	–	–	–	не існує
не існує				не існує
– верт. асимптота		максимум		– верт. асимптота