Комплексно-сопряжённые числа

- два комплексных числа Z = a + b * i и Z̅ ̅= a – b * i

- отличаются только знаком мнимой части.

 

19. Запись числа z в виде z=a+b*i называют алгебраической формой комплексного числа. Любое комплексное число z=a+b*i можно изобразить точкой М(a;b) на координатной плоскости. (число x откладываем на оси Х, b на оси Y)

Пусть ОМ=r, а угол между Ох и Оy=ф по теореме Пифагора a²+b²=r²

sinф=b/r

cosф=a/r

Тогда: a=r*cosф b=r*sinф

z=a+b*i=r*cosф+i*r*sinф=r*(cosф+i*sinф) -тригон. форма компл.числа.

Угол ф можно найти из формулы cosф=a/r, sinф=b/r или tgф=b/a

arctg(b/a)-для точек 1 и 4 четвертей

ф= arctg(b/a)+Π- для точек 2 четверти

arctg(b/a)-Π- для точек 3 четверти

arctg(-x)= - arctgx

x
arctg x

 

 

Пример: записать в тригонометрической форме комплексное число z= -2+2i

z = -2+2i

a = -2; b =2

 

M =(-2;2)

r = √((-2)²+2²) = √8 =2√2

ф =90°+45º = 135º =П/2+П/4 = 3П/4

z = 2√2(cos(3П/4)+i*sin(3П/4)) – тригонометрическая формула.

20. Сравнение. Два комплексных числа z₁=х₁+jy₁ и z₂=х₂+jy₂ называются равными, если, х₁=х₂, у₁=у₂ т.е. равны их действительные и мнимые части. Два компл. числа в тригон. форме z₁=r₁(cosφ₁+jsinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+jsinφ₂) наз-ся =, если lz₁l=lz₂l, argz₁=argz₂+2П_n,n€Z То есть, если = их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2П_n.

Сложение. Сложение комплексных чисел осуществляется в алгебраической форме и определяется след. образом: суммой чисел z₁=х₁+jy₁ и z₂=х₂+jy₂ яв-ся число z₁+z₂=х₁+jy₁+х₂+jy₂=(х₁+х₂)+j(y₁+y₂) Т.е. выполняется непосредственное суммир-е действ-ых и мнимых частей.

Вычитание. Вычитание компл. чисел также осущ-ся в алгебраической форме. Разность двух чисел z₁=х₁+jy₁ и z₂=х₂+jy₂ является число z₁-z₂= х₁+jy₁-(х₂+jy₂₎=х₁-х₂+(jy₁-y₂)=(х₁-х₂)+j(y₁+y₂) Таким образом, чтобы вычесть из одного числа другое, выполняется непосредственное вычитание действительных и мнимых частей.

Умножение. Умножение компл. в алгебраической форме z₁=х₁+jy₁ и z₂=х₂+jy₂ вып-ся непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы j²=-1; z₁*z₂=(х₁+jy₁)*(х₂+jy₂)=(х₁*х₂-y₁*y₂)+j(х₁*у₂+х₂*y₁) Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство: z₁*z₂=r₁*r₂((cosφ₁+φ₂)+jsin(φ₁+φ₂))

Деление. Частное компл. чисел в алгебр. форме z₁=х₁+jy₁ и z₂=х₂+jy₂ находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное к знаменателю число: = = = +j