Зразок виконання індивідуального завдання

Завдання 1.

Знайти область визначення функції і зобразити її на площині.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

 

 

Завдання 2.

Знайти точки розриву функції.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

 

 

Знайти границю функції в точці.

2.6 , (0;0)

2.7 , (0;0)

2.8 , (0;0)

2.9 , (0;0)

2.10 , (0;0)

2.11 , (0;0)

2.12 , (0;0)

2.13 , (0;0)

2.14 , (0;0)

2.15 , (0;0)

2.16 , (0;0)

2.17 , (2;1)

2.18 , (0;2)

2.19 , (0;1)

2.20 , (0;0)

2.21 , (2;0)

2.22 , (0;0)

2.23 , (0;0)

2.24 , (0;0)

2.25 , (0;0).

 

 

Завдання 3.

Знайти частинні похідні функції в точці (0;0) і дослідити її на диференційованість в цій точці.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25 .

Завдання 4.

Знайти повний диференціал першого порядку для функції

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25 .

 

Завдання 5.

Знайти повний диференціал другого порядку для функції

5.1 ,

5.2 ,

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12 , , ,

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25 .

 

Завдання 6.

Показати, що функція задовольняє рівнянню, де - диференційовані.

6.1 ,

6.2 ,

6.3 ,

6.4 ,

6.5 ,

6.6 ,

6.7 ,

6.8 ,

6.9 ,

6.10 ,

6.11 ,

6.12 ,

6.13 ,

6.14 ,

6.15 ,

6.16 ,

6.17 ,

6.18 ,

6.19 ,

6.20 ,

6.21 ,

6.22 ,

6.23 ,

6.24 ,

6.25 , .

 

Завдання 7

Знайти та для функції , яка визначається рівняннями.

7.1

7.2

7.3

7.4 ,

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25 .

 

 

Зразок виконання індивідуального завдання.

1.0 Знайти область визначення функції і зобразити її.

Розв’язання.

Рівняння задає конус – поверхню другого порядку. Областю визначення буде замкнена множина: зовнішність конуса з межею, але з проколеною точкою .

 

2.0 Знайти подвійну та повторні границі функції в точці

Розв’язання. Знайдемо повторні границі

.

.

Знайдемо подвійну границю: Так як , то а , тому маємо невизначенність . Скористаємося перетвореннями степенево – показникового виразу . Отримаємо

.

 

2.0 Знайти точки розриву функції .

Розв’язання. Умовами розриву будуть

На площині точки розриву утворюють множину прямих ліній та , де .

3.0 Знайти частинні похідні функції в точці (0;0) і дослідити її на диференційованість в цій точці .

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні в точці (0;0) за означенням

, аналогично .

Частинні похідні існують: .

Приріст функції у точці (0;0) дорівнює .

За означенням функція диференційована у точці (0;0), якщо виконується наступна рівність , якщо , але це не вірно, так як . Дійсно, якщо отримаємо .

Функція у точці (0,0) недиференційована.

 

4.0 Знайти повний диференціал першого порядку для функції

Розв’язання.

.

5.0 Знайти повний диференціал другого порядку для функції

Розв’язання.

Нехай , , , тоді . Знайдемо перші похідні

,

,

.

Знайдемо другі похідні

,

,

,

,

,

.

Знайдені похідні підставимо у формулу .

 

6.0 Показати, що функція задовольняє рівнянню , де - диференційовані, та .

Розв’язання.

Таким чином, отримали тотожність.

 

7.0 Знайти та для функції , яка визначається рівнянням .

Розв’язання. Продиференцюємо рівняння за змінною , з урахуванням, що функція

.

Знайдемо другу похідну, як похідну від першої

. .

Підставимо сюди знайдене раніше значення першої похідної.

.