Теоретическая механика

Новотроицк

2008

УДК 531.8

Т 19

Степыко Т.В.Теоретическая механика. Методические рекомендации для выполнения контрольных работ для студентов специальности 150404- Металлургические машины и оборудование. Новотроицк: НФ МИСиС, 2008. – 40 с.

Даны методические рекомендации для выполнения контрольных работ по учебной дисциплине “Теоретическая механика”: часть I-“Cтатика и кинематика”, часть I- “Динамика”. Рассмотрены примеры решений каждой задачи.

Для каждой задачи представлены расчетные схемы и таблицы числовых данных.

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены на заседании оборудования металлургических предприятий НФ МИСиС протокол № 7 от 29.02. 2008г.

СОДЕРЖАНИЕ

Общие методические указания…………………………..…………… 4

Статика……………………………………………………………………..6

Задача С1………………………………………………………………...6

Задача С2………………………………………………………………..10

Кинематика……………………………………………………….………..15

Задача К1………………………………………………………………..15

Задача К2………………………………………………………………..19

Динамика…………………………………………………………………..24

Задача Д1………………………………………………………………..24

Задача Д2………………………………………………………………. 28

Задача Д3 ……………………………………………………………….33

Список использованных источников………………………………..…38

Приложение……………………………………………………….…….39

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Теоретическая механика включает три раздела: статику, кинематику и динамику.

Для изучения учебной дисциплины “Теоретическая механика” необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Во всех разделах курса, начиная со статики, широко используется векторная алгебра. Необходимо уметь вычислять проекции векторов на координатные оси, находить геометрически и аналитически сумму векторов, вычислять скалярное и векторное произведения двух векторов и знать свойства этих произведений, а в кинематике и динамике — дифференцировать векторы. Надо также уметь свободно пользоваться системой прямоугольных декартовых координат на плоскости и в пространстве, знать, что такое единичные векторы (орты) этих осей и как выражаются составляющие вектора по координатным осям с помощью ортов.

Для изучения кинематики надо уметь дифференцировать функции одного переменного, строить графики этих функций, быть знакомым с понятиями о естественном трехграннике, кривизне кривой и радиусе кривизны, знать основы теории кривых 2-го порядка, изучаемой в аналитической геометрии.

Для изучения динамики надо уметь находить интегралы (неопределенные и определенные) от простейших функций, вычислять частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных, а также уметь интегрировать дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными и линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка (однородные и неоднородные) с постоянными коэффициентами.

При изучении материала дисциплины по учебнику необходимо, уяснить существо каждого излагаемого там вопроса. Главное — это понять изложенное в учебнике, а не «заучить».

Изучать материал рекомендуется по темам или по главам учебника. Сначала следует прочитать весь материал темы, особенно не задерживаясь на том, что показалось не совсем понятным; часто это становится понятным из последующего. Затем надо вернуться к местам, вызвавшим затруднения, и внимательно разобраться в том, что было неясно. Особое внимание при повторном чтении обратите на формулировки соответствующих определений, теорем и т. п.; в точных формулировках, как правило, бывает существенно каждое слово и очень полезно понять, почему данное положение сформулировано именно так. Однако не следует стараться заучивать формулировки; важно понять их смысл и уметь изложить результат своими словами.

Необходимо также понять ход всех доказательств и разобраться в их деталях. Доказательства надо уметь воспроизводить самостоятельно, что нетрудно сделать, поняв идею доказательства; пытаться просто их «заучивать» не следует, никакой пользы это не принесет.

При изучении дисциплины особое внимание следует уделить приобретению навыков решения задач. Для этого, изучив материал данной темы, надо сначала обязательно разобраться в решениях соответствующих задач, которые приводятся в учебнике, обратив особое внимание на методические указания по их решению.

Закончив изучение темы, нужно проверить, можете ли вы дать ответ на все вопросы программы курса по этой теме.

Указания по выполнению домашних заданий и контрольных работ приводятся ниже. К каждой задаче даются конкретные методические указания по ее решению, и приводится пример решения.

СТАТИКА

Задача С1

Жесткая рама (рисунки С 1. О — С 1.9, таблица C 1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р = 25 кН. На раму действует пара сил с моментом М=60 кНм и две силы, значения, направления и точки приложения, которых указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действуют сила F₁ под углом 15° к горизонтальной оси, приложенная в точке D, и сила F₂ под углом 60° к горизонтальнойоси, приложенная в точке Е т. д.).

Определить реакции связей в точках А, В, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а=0,5м.

Рекомендации. Задача С 1 — на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. При ее решении следует учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковыми. Уравнение моментов будут болee простыми, если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие F' и F", для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда m_o (F)=m_o(F')+ m_o(F'')

Рисунок С 1.0	Рисунок С 1.1
Рисунок С 1.2	Рисунок С 1.3
Рисунок С 1.4	Рисунок С 1.5
Рисунок С 1.6	Рисунок С 1.7
Рисунок С 1.8	Рисунок С 1.9

Таблица С 1 Исходные данные к задаче С 1

Силы
Силы	F₁ = 10 кН		F₂ = 20 кН		F₃ = 30 кН		F₄ = 40 кН
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Номер условия	Точка приложения	,град	Точка приложения	,град	Точка приложения	,град	Точка приложения	,град
0	Н	30	-	-	-	-	K	60
1	-	-	D	15	E	60	-	-
2	К	75	-	-	-	-	E	30
3	-	-	K	60	H	30	-	-
4	D	30	-	-	-	-	E	60
5	-	-	H	30	-	-	D	75
6	E	60	-	-	K	15	-	-
7	-	-	D	60	-	-	H	15
8	H	60	-	-	D	30	-	-
9	-	-	E	75	K	30	-	-

Пример С 1. Жесткая пластина ABCD (рисунок С 1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В — подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Рисунок С 1

Дано: F=25 кН, α=60°, Р=18 кН, γ=75°, М=50 Кн*м, β = 30°, а=0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками. Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: силу F, пару сил с моментом М, натяжение троса Т (по модулю Т=Р) и реакции связей Х_А, У_А, Ra (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы F относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу F на составляющие F', F" (, ) и учтем, что . Получим:

(1)

(2)

(3)

Подставив в составленные уравнения, числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ; Х_А=— 8,5 кН; У_А—23,3 кН; R_B=7,3 кН. Знаки указывают, что силы Х_А и У_А направлены противоположно показанным направлениям рисунка С 1.

Задача С 2

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно (рисунки С 2.0 - С 2.5), или свободно опираются друг о друга (рисунки С 2.6 — С 2.9), Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке А или шарнир, или жесткая заделка; в точке В или невесомый стержень В В' (рисунки 0 и 1), или гладкая плоскость (рисунки 2 и 3), или шарнир (рисунки 4 — 9); в точке D или невесомый стержень DD' (рисунки 1, 2, 7), или шарнирная опора на катках (рисунок 9).

На каждую конструкцию действует: пара сил с моментом М = 60 кН*м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 20 кН/м и еще две силы. Эти силы, их направления и точки приложения указаны в таблице С 2а; там же в столбце «Участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка (например, в условиях № 1 на конструкцию действуют сила F₂ под углом 60⁰ к горизонтальной оси, приложенная в точке L, сила F₄ под углом 30" к горизонтальной оси, приложенная в точке Е, и нагрузка, распределенная на участке СК).

Определить реакции связей в точках А, В, С (для рисунка. 1, 2, 7, 9
еще и в точке D), вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять а=0,2м. Направление распределенной
нагрузки на различных по расположению участках указано в таблице С 2
Рекомендации. Задача С 2 — на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем— равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, илиже сразу расчленить систему ирассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодействия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны, и парой сил, момент которой тоже неизвестен.

Таблица С 2 Исходные данные к задаче С 2

Участок на угольнике		Участок на стержне
горизонтальный	вертикальный	Рис. 1,2,4,7,9	Рис. 0,3,5,6,8

Таблица С 2 а Исходные данные к задаче С 2

Силы									участок
Силы	F₁ = 10 кН		F₂ = 20 кН		F₃ = 30 кН		F₄ = 40 кН		участок
Номер условия	Точка прило-жения	,град	Точка прило-жения	,град	Точка прило-жения	,град	Точка прило-жения	,град
0	К	60	-	-	Н	30	-	-	CL
1	-	-	L	60	-	-	E	30	CK
2	L	15	-	-	K	60	-	-	AE
3	-	-	K	30	-	-	H	60	CL
4	L	30	-	-	E	60	-	-	CK
5	-	-	L	75	-	-	K	30	AE
6	E	60	-	-	K	75	-	-	CL
7	-	-	H	60	L	30	-	-	CK
8	-	-	K	30	-	-	E	15	CL
9	H	30	-	-	-	-	L	60	CK

Рисунок С 2.0	Рисунок С 2.1
Рисунок С 2.2	Рисунок С 2.3
Рисунок С 2.4	Рисунок С 2.5
Рисунок С 2.6	Рисунок С 2.7
Рисунок С 2.8	Рисунок С 2.9

Пример С 2.

а) б) в)

Рисунок С 2

На угольнике АВС (<АСВ = 90⁰), конец А которого жестко заделан, в точке С опирается стержень DE (рисунок С 2, а). Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила F, а к угольнику - равномерно распределенная на участке KB нагрузка интенсивности q и пара с моментом М.

Дано: F=10 кН, М=5 кНм, q=20 кН/м, а=0,2 м. Определить: реакции в точках А, С, D, вызванные заданными нагрузками.

Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DE (рисунок С 2, б), Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на стержень силы: силу F, реакцию N, направленную перпендикулярно стержню, и составляющие X_D и У_D реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия;

(1)

(2)

(3)

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рисунок С 2, в). На него действуют сила давления стержня N', направленная противоположно реакции N, равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой Q, приложенной в середине участка KB (численно Q=q*4a=16 кН), пара сил с моментом М иреакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими Х_А, Y_А, и пары с моментом М_А. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

(4)

(5)

(6)

При вычислении момента силы N' разлагаем ее на составляющие , и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения, числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (1)—(6),найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно N'=N в силу равенства действия и противодействия. Ответ: N=21,7 кН,Y_D=-10,8 кН, X_D=8,8 кН, X_A=-26,8 кН, Y_A=24,7 кН, M_A=-42,6 кНм. Знаки указывают, что силы Y_D, X_А и момент М_А направлены противоположно показанным на рисунках.

КИНЕМАТИКА

Задача К 1

Точка В движется в плоскости ху (рисунки К 1.0 — К 1.9, таблица К 1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями x=f_l(t), y=f₂(t), где х и у выражены в сантиметрах, t — в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x=f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y=f₂(t) дана в таблице К 1 (для рисунков 0 — 2 в столбце 2, для рисунков 3 — 6 в столбце 3, для рисунков 7 — 9 в столбце 4).

Рекомендации. Задача К 1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁=l с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:

cos 2α = 1— 2 sin² α=2 cos² α—1; sin 2α=2 sin α cos α.

Рисунок К 1.0	Рисунок К 1.1	Рисунок К 1.2
Рисунок К 1.3	Рисунок К 1.4	Рисунок К 1.5
Рисунок К 1.6	Рисунок К 1.7	Рисунок К 1.8

Рисунок К 1.9

Таблица К 1 Исходные данные к задаче К 1

Номер условия	у=f₂(t)
Номер условия	Рис. 0-2	Рис. 3-6	Рис. 7-9
1	2	3	4
0
1
2
3
4
5
6
1	2	3	4
7
8
9

Пример К 1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

;

(х, у— в сантиметрах, t — в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t=1с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу:

или (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим:

следовательно,

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рисунок KI):

(2)

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

Рисунок К 1

и при t=1с

см/с, см/с, см /с. (3)

3. Аналогично найдем ускорение точки:

и при t =1 с

см/с², см/с², = 0,88 см/с². (4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени, равенство . Получим:

(5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t₁ =1 с см/с².

5. Нормальное ускорение точки . Подставляя
сюда найденные числовые значения и , получим, что при t =1с = 0,58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения и , найдем, что при t =1 с = 3,05см.

Ответ: = 1,33 см/с, = 0,88 см/с², =0,66 см/с², =0,58 см/с², =3,05 см.

Задача К 2

Прямоугольная пластина (рисунки К 2.0 — К 2.4) или круглая пластина радиуса R = 60 см (рисунки К 2.5 — К 2.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону заданному в таблице К 2. Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. На рисунках 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рисунках 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения 00₁лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рисунки 0—4) или по окружности радиуса R (рисунки 5—9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е, зависимость s=AM=f₂(t) (s выражено в сантиметрах, t—в секундах), задан в таблице отдельно для рисунков 0—4 и для рисунков 5—9; там же даны размеры b и I. На рисунках точка М показана в положении, при котором s=AM>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки A).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1с.

Таблица К 2 Исходные данные к задаче К 2

Номер условия	Для всех рисунков	Для рисунков 0-4	Для рисунков 5-9
Номер условия	Для всех рисунков	b, cм	l
0		12	R
1		16	4/3R
2		10	R
3		16	R
4		8	R
5		20	R
6		12	4/3R
7		8	R
8		10	R
9		20	4/3R

Рекомендации. Задача К 2 — на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t₁ = lc, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче),

В случаях, относящихся к рисункам 5—9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁ =1 с и угол между радиусами СМ и СА в этот момент.

Рисунок К 2.0	Рисунок К 2.1		Рисунок К 2.2
Рисунок К 2.3	Рисунок К 2.4		Рисунок К 2.5
Рисунок К 2.6		Рисунок К 2.7
Рисунок К 2.8		Рисунок К 2.9

Пример К 2. Шар радиуса R (рисунок К 2, а) вращается вокруг своего диаметра АВ по закону (положительное направление отсчета угла показано на рисунке К 2, а дуговой стрелкой). По дуге

Рисунок К 2

большого круга («меридиану») ADB движется точка М по закону s = AM = f₂(t); положительное направление отсчета s от А к D.

Дано: R=0,5 м, , ( — в радианах, s—в метрах, t — в секундах). Определить: и в момент времени t₁=1с.

Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным (АВ—относительная траектория точки), а вращение шара — переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

, , (1)

где, в свою очередь,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону

s = AM= . (2)

Сначала установим, где будет находиться точка М на дуге ADB в момент времени t₁. Полагая в уравнении (2) t=1 с_, получим:

. Тогда АСМ

или ВСМ=30°. Изображаем на рисунке К 2, а точку в положении, определяемом этим углом (точка M₁).

Теперь находим числовые значения :

; ; ,

где — радиус кривизны относительной траектории, т. е. дуги ADB, Для момента времени t₁=1с, учитывая, что R=0,5 м, получим:

м/с; м/с²; м/с² (3)

Знаки показывают, что вектор v₀_T направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор —в противоположную сторону; вектор направлен к центру С дуги ADВ. Изображаем все эти векторы на рисунке К 2, а. Для наглядности приведен рисунок К 2, б, где дуга ADB совмещена с плоскостью чертежа.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону . Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: и при t₁=1с

(4)

Знаки указывают, что при t₁ = 1 с направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рисунке К 2, а соответствующими дуговыми стрелками.

Для определения и находим сначала расстояние h точки М₁ от оси вращения. Получаем 30°=0,25 м. Тогдав момент времени t₁ =1 с, учитывая равенства (4), получим:

м/с м/с² м/с² (5)

Изображаем на рисунке К 2, а векторы и с учетом направлений ωи ε вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ω) равен 60°, то численно в момент времени t₁ = l с [см. равенства (3) и (4)]

м/с² (6)

Направление найдем, спроектировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω, т, е. по ходу часовой стрелки, на 90°. Иначе направление можно найти, учтя, что Изображаем вектор на рисунке К 2, а.

Теперь можно вычислить значения и .

4. Определение . Так как , а векторы и взаимно перпендикулярны (см. рисунок К 2, а), то в момент времени t₁ =1 c м/с

5. Определение . По теореме о сложении ускорений

(7)

Для определения проведем координатные оси М₁хуz (см. рисунок К 2, а) и вычислим проекции вектора а_аб на эти оси. Учтем при этом что векторы и лежат на проведенной оси х, а векторы , и расположены в плоскости дуги ADB, т. е. в плоскости М₁yz (см. рисунок К 2, б). Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси и учтя одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t₁= 1 с:

м/с²;

м/с²

Отсюда находим значение в момент времени t₁ =1 с:

м/с²

О т в е т: м/с =4,1 м/с²

Динамика

Задача Д 1

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость , движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рисунки Д 1.0—Д 1.9, таблица Д 1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила F, проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние AB=L или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. x=f(t), где x=BD.

Рекомендации. Задача Д 1—на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t=0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина L участка, целесообразно перейти к переменному х, учтя, что