Классический метод. Переменное напряжение источника

Классический метод. Постоянное напряжение источника.

Сопротивление последовательного соединения R ₁, R ₄

R ₁₄ = R ₁ + R ₄ = 6 + 4 = 10 Ом.

 

Алгебраизованное выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника

Z (p) = + + R ₁₄ =.

Характеристическое уравнение Z (p) = 0,

R ₃(R ₂ + R ₁₄) LC p ² + ((R ₂ + R ₃ + R ₁₄) L + R ₂ R ₃ R ₁₄ C) p + R ₂(R ₃ + R ₁₄) = 0;

5∙(10 + 10)∙4∙10^-3∙5∙10^-6 p ² + ((10 + 5 + 10)∙4∙10^-3 + 10∙5∙10∙5∙10^-6) p + 10∙(5 + 10) = 0:

Корни характеристического уравнения p ₁ = – 1510 с; p ₂ = – 49700 с.

Свободная составляющая тока в индуктивности i_{L св} = A ₁ e^{p 1 t} + A ₂ e^{p 2 t} = A ₁ e ^{–1510 t} + A ₂ e ^{–49700 t}.

Схема до коммутации.

Начальное значение тока в ветви c индуктивностью i_L (0) = E /(R ₁₄ + R ₃) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Начальное значение напряжения на емкости u_C (0) = i_L (0) R ₃ = 10∙5 = 50 В.

Схема после коммутации.

Принужденная составляющая напряжения на емкости u_{C пр} = E = 150 В.

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

u_C (t) = u_{C пр} + u_{C св}(t) = 150 + A ₁ e ^{–1510 t} + A ₂ e ^{–49700 t} ;

= – 1510 A ₁ e ^{–1510 t} – 49700 A ₂ e ^{–49700 t} .

Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов

u_C (0) = u_{C пр}(0) + u_{C св}(0) = 150 + A ₁ + A ₂;

= – 1510 A ₁ – 49700 A ₂.

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0

для правого узла – i_C (0) + i_L (0) + i ₂(0) = 0;

для левого контура R ₁₄ i_E (0) + L – u_C (0) = E;

для верхнего контура R ₂ i ₂(0) – L = 0.

Исключение величин i ₂(0),: (R ₁₄ + R ₂) i_C (0) – R ₂ i_L (0) – u_C (0) = E;

(10 + 10)∙ i_C (0) – 10∙1,47 – 30,0 = 150;

Зависимые начальные условия i_C (0) = 7,5 А; = = 7,5/(5∙10^-6) = 1,5∙10⁶ В/с.

50 = 180 + A ₁ + A ₂;

1,5∙10⁶ = – 1510 A ₁ – 49700 A ₂.

Постоянные интегрирования A ₁ = – 3,6 А; A ₂ = 1,1 А.

Искомый переходный ток в индуктивности i_L (t) = 10 – 3,6 e ^{–1510 t} + 1,1 e ^{–49700 t}.

Классический метод. Переменное напряжение источника.

Корни характеристического уравнения аналогично p ₁ = – 1510 с; p ₂ = – 49700 с.

Свободная составляющая напряжения на емкости u_{C св} = A ₁ e^{p 1 t} + A ₂ e^{p 2 t} = A ₁ e ^{–1510 t} + A ₂ e ^{–49700 t}.

Реактивные сопротивления индуктивности и емкости

X_L = w L = 7000∙4∙10^-3 = 28 Ом; X_C = 1/(w C) = 1/(7000∙5∙10^-6) = 28,6 Ом.

 

Комплексные величины:

амплитуда напряжения источника _m = E_me ^{y e} = 150 e ^120° В;

сопротивления параллельных соединений ветвей R ₂, L и R ₃, C

Z _{R 2 L} = = 1/(1/10 + 1/ j 28) = 8,87 + j 3,17 Ом;

Z _{R 3 C} = = 1/(1/5 + 1/(– j 28,6)) = 4,85 – j 0,85 Ом = 4,93 e ^{– j 9,93°} Ом.

Схема до коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z = Z _{R 2 L} + Z _{R 3 C} + R ₁₄ = (8,87 + j 3,17) + (4,85 – j 0,85) + 10 = 23,8 e ^{j 5,58°} Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью

_em = _m / Z = 150 e ^120°/23,8 e ^{j 5,58°} = 6,29 e ^{j 114,45°} А;

_Lm = _em /(jX_L / R ₂ + 1) = 6,29 e ^{j 114,45°}/(j 28/10 + 1) = 2,12 e ^{j 44,11°} А;

амплитуда напряжения на емкости _Cm = _em Z _{R 3 C} = 6,29 e ^{j 114,45°}∙4,93 e ^{– j 9,93°} = 31,0 e ^{j 104,52°} В;

ЭДС источника, ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости при t = 0 

e (0) = E_m sin y _e = 150∙sin 120° = 129,9 В;

i_L (0) = 2,12 sin 44,11° = 1,47 А;

u_C (0) = 31,0 sin 104,52° = 30,0 В.

Cхема после коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z = Z _{R 2 L} – jX_C + R ₁₄ = (8,87 + j 3,17) – j 28,6 + 10 = 31,6 e ^{– j 53,34°} Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью

_em = _m / Z = 150 e ^120°/31,6 e ^{– j 53,34°} = 4,74 e ^{j 173,43°} А;

_Lm = _em /(jX_L / R ₂ + 1) = 1,74 e ^{j 173,43°}/(j 28/10 + 1) = 1,59 e ^{j 103,09°} А;

амплитуда напряжения на емкости _Cm = _em (– jX_C) = 4,74 e ^{j 173,43°}∙28,6 e ^{– j 90°} = 135,4 e ^{j 83,44°} В.

Принужденная составляющая напряжения на емкости u_{C пр}(t) = 135,4 sin(7000 t + 83,44°).

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

u_C (t) = u_{C пр}(t) + u_{C св}(t) = 135,4 sin(7000 t + 83,44°) + A ₁ e ^{–1510 t} + A ₂ e ^{–49700 t} ;

= 94500 cos(7000 t + 83,44°) – 1510 A ₁ e ^{–1510 t} – 49700 A ₂ e ^{–49700 t} .

Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов

u_C (0) = u_{C пр}(0) + u_{C св}(0) = 135,4 sin 83,44° + A ₁ + A ₂;

= 94500 cos 83,44° – 1510 A ₁ – 49700 A ₂.

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0

для правого узла – i_С (0) + i_L (0) + i ₂(0) = 0;

для левого контура R ₁₄ i_С (0) + L – u_C (0) = e (0);

для верхнего контура R ₂ i ₂(0) – L = 0.

Исключение величин i ₂(0),: (R ₁₄ + R ₂) i_С (0) – R ₂ i_L (0) – u_C (0) = e (0);

(10 + 10)∙ i_e (0) – 10∙1,47 – 30,0 = 129,9;

Зависимые начальные условия i_С (0) = 8,73 А; = = 8,73/(5∙10^-6) = 1,75∙10⁶ В/с.

30,0 = 135,4 sin 83,44° + A ₁ + A ₂;

1,75∙10⁶ = 94500 cos 83,44° – 1510 A ₁ – 49700 A ₂.

Постоянные интегрирования A ₁ = – 73,9 А; A ₂ = – 30,7 А.

Искомое переходное напряжение на емкости u_C (t) = 135,4 sin(7000 t + 83,44°) – 73,9 e ^{–1510 t} – 30,7 e ^{–49700 t}.

Временные диаграммы переходного тока в индуктивности для постоянного и переменного напряжения

 

   
Операторный метод. Постоянное напряжение источника.

Эквивалентная операторная схема

Начальные условия

 

Ток в цепи с индуктивностью при t = 0: i_L (0) = E /(R ₁₄ + R ₃) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Напряжение на емкости при t = 0: u_C (0) = i_L (0) R ₃ = 10∙5 = 50 В.

Операторные контурные уравнения для смежных контуров-ячеек

I ₁₁(p)(R ₁₄ + pL + 1/(pC)) – I ₂₂(p) pL – I ₃₃(p)(1/(pC)) = – E (p) – Li_L (0) + u_C (0)/ p;

– I ₁₁(p) pL + I ₂₂(p)(R ₂ + pL) = Li_L (0);

– I ₁₁(p)(1/(pC)) + I ₃₃(p)(R ₃ + 1/(pC)) = – u_C (0)/ p.

Подстановка данных

I ₁₁(p)(10 + p ∙4∙10^-3 + 1/(p ∙5∙10^-6)) – I ₂₂(p) p ∙4∙10^-3 – I ₃₃(p)(1/(p ∙5∙10^-6)) = – 150/ p – 4∙10^-3∙ i_L (0) + 50/ p;

– I ₁₁(p) p ∙4∙10^-3 + I ₂₂(p)(10 + p ∙4∙10^-3) = 4∙10^-3∙ i_L (0);

– I ₁₁(p)(1/(p ∙5∙10^-6)) + I ₃₃(p)(5 + 1/(p ∙5∙10^-6)) = – u_C (0)/ p;

Операторные контурные токи левого и правого контуров

I ₁₁(p) = –;

I ₃₃(p) = –.

Операторный ток в ветви с емкостью I_C (p) = I ₃₃(p) – I ₁₁(p) = –.

Операторное напряжение на емкости

U_C (p) = + = = =;

 

F ₁(p) = u_C (0) p ² + (100∙10³ i_L (0) + 1,25∙10³ u_C (0) + 1,5∙10⁶) p + 3,75∙10⁹;

F ₃(p) = p ² + 51,25∙10³ p + 75∙10⁶;

F (p) = 2 p + 51250.

Корни характеристического уравнения F ₂(p) = 0 p ₀ = 0; p ₁ = – 1510 с; p ₂ = – 49700 с.

Переходное напряжение на емкости по теореме разложения

u_C (t) = + + =  

= + e ^{–1510 t} + e ^{–49700 t} =

= 50 – 1,37∙10^–8(– 1,51∙10⁸ i_L (0) + 3,9∙10⁵ u_C (0) + 1,49∙10⁶) e ^{–1510 t} – 4,17∙10^–10(– 4,97∙10⁹ i_L (0) + 4,41∙10⁹ u_C (0) – 7,08∙10¹⁰) e ^{–49700 t} А.

При подстановке i_L (0) = 10 А, u_C (0) = 50 В

u_C (t) = 50 – 0,137 e ^{–1510 t} + 0,313 e ^{–49700 t} А

Значения тока в индуктивности, полученные классическим и операторным методами, не совпадают.