Лекция 9
Системы счисления.
Переводы чисел из одной системы счисления в другую.
Система счисления – набор знаков, используемых для записи чисел и правила записи чисел.
Эти знаки называют цифрами.
Набор этих знаков называется алфавитом системы счисления.
Количество цифр в алфавите называется мощностью алфавита.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
В позиционной системе счисления вес цифры (ее значение) зависит от положения цифры в числе, а в непозиционной – нет.
Если хотя бы для одного числа это правило не выполняется, система счисления называется непозиционной. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
Римская непозиционная система счисления – самая распространенная из непозиционных СС. В качестве цифр в ней используются: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000)
К позиционным системам счисления относятся: двоичная (с основанием 2), десятичная (с основанием 10), восьмеричная (с основанием 8), шестнадцатеричная (с основанием 16).
|
|
В общем случае, система счисления с основанием N:– N-ичная.
Рассмотрим число 777,7 в десятичной системе счисления: первая семерка в нем означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 777,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 70 + 7 + 0,7 = 7•102 + 7•101 + 7•100 + 7•10-1 = 777,7 – развернутая форма записи числа
Количество цифр в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Именно во столько раз вес каждого разряда отличается от веса соседнего разряда.
Основание – основная характеристика позиционной системы счисления.
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем:
Место цифры в числе называют разрядом, а количество цифр в числе – его разрядностью.
Разряды целого числа нумеруют справа налево, начиная с нуля. Дробные разряды нумеруют слева направо, начиная с -1 (минус единицы).
Таблица соответствия между
десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системами счисления
10 - я | 2 - я | 8 - я | 16 - я | 10 - я | 2 - я | 8 - я | 16 - я |
0 | 0 | 0 | 0 | 10 | 1010 | 12 | A |
1 | 1 | 1 | 1 | 11 | 1011 | 13 | B |
2 | 10 | 2 | 2 | 12 | 1100 | 14 | C |
3 | 11 | 3 | 3 | 13 | 1101 | 15 | D |
4 | 100 | 4 | 4 | 14 | 1110 | 16 | E |
5 | 101 | 5 | 5 | 15 | 1111 | 17 | F |
6 | 110 | 6 | 6 | 16 | 10000 | 20 | 10 |
7 | 111 | 7 | 7 | 17 | 10001 | 21 | 11 |
8 | 1000 | 10 | 8 | 18 | 10010 | 22 | 12 |
9 | 1001 | 11 | 9 | 19 | 10011 | 23 | 13 |
Для перевода чисел из какой-либо системы счисления в десятичную необходимо:
1. Пронумеровать разряды числа справа налево, начиная с нуля
2. Умножить каждую цифру числа на основание его системы счисления, возведенную в степень, равную номеру этого разряда
|
|
3. Сложить полученные числа
Примеры:
Для перевода десятичного числа в другую систему счисления необходимо:
1. Делить нацело с остатком число на нужное основание системы счисления.
2. Продолжать деление до тех пор, пока частное не станет меньше делителя.
3. Выписать остатки в порядке, обратном их получению, начиная с частного.
Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
Для перевода дробных чисел из десятичной в другую систему счисления необходимо:
1. Отдельно перевести целую часть по обычным правилам
2. Далее оставшуюся дробь умножить на основание нужной системы счисления, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на основание СС, отделяя после каждого умножения целую часть пpоизведения.
3. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей пpоизведения.
4. Действие 2 повторять до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или пока не будет достигнуто требуемое количество разрядов (точность).
Пример: перевести число 0, 35 в 2-ю, 8-ю и 16-ю системы счисления.
В двоичную В 8-ричную В 16-ричную
Ответ: 0,3510 = 0,010112 = 0,2638 = 0,5916.
Две системы счисления называют родственными, если основание одной системы счисления равно степени основания другой. Например, 2 и 8, 2 и 16, 3 и 9.
Для произвольной пары систем счисления перевод из одной СС в другую осуществляется через 10-ю СС. В родственных СС переводы можно осуществлять напрямую.
Рассмотрим переводы между 2-й, 8-й и 16-й СС (наиболее распространённые).
Для перевода восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
Например:
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
Например:
Сводная таблица переводов целых чисел