Алгоритм обмена ключами Диффи-Хеллмана

 

Алгори́тм Ди́ффи – Хе́ллмана – алгоритм, позволяющий двум сторонам получить общий секретный ключ, используя незащищенный от прослушивания, но защищённый от подмены, канал связи. Этот ключ может быть использован для шифрования дальнейшего обмена с помощью алгоритма симметричного шифрования.

Алгоритм был впервые опубликован Уитфилдом Диффи  и Мартином Хеллманом в 1976 году.

Пускай мы хотим переслать сообщение приятелю так, чтобы никто не подслушал. У нас есть достаточно стойкий способ шифрования: мы знаем, что если даже перехватят зашифрованное сообщение, то без ключа они ни о чем не догадаются. Но чтобы расшифровать сообщение, приятель тоже должен знать ключ – как его передать? Долго считалось, что задача передачи ключа не разрешима принципально, то есть нам придётся встретиться заранее в укромном месте и придумать общий ключ: по открытому каналу мы не договоримся. Что же придумали Диффи и Хеллман: это вообще был крупнейший переворот в истории шифрования.

Во-первых, допустим, у меня есть шкатулка. Я хочу её переслать посылкой, чтобы никто не мог открыть (в границах аналогии – без грубой силы), а приятель мог бы. Как переслать ключ от шкатулки? Я повешу на шкатулку висячий замок и отправлю её без ключа. Приятель, получив посылку, не сможет её открыть, но повесит туда свой собственный замок (от которого ключ только у него) и отправит обратно мне. Я сниму свой замок и снова отправлю приятелю. И теперь он получит шкатулку, которую сможет открыть он, и только он.

Вариант 2. Допустим, мы хотим с приятелем загадать какой-нибудь цвет так, чтобы мы оба его знали, а никто кроме - нет, но у нас нет надёжного канала. У меня есть банка жёлтой краски известного объёма, и у приятеля тоже. Я загадаю какой-нибудь цвет, налью какое-то количество такой краски в банку и хорошо перемешаю. Приятель тоже. Мы обменяемся банками, и каждый повторит с полученной банкой ту же операцию. В результате у каждого будет в банке одинаковый цвет, но никто, перехватив в пути банку, или даже обе, не сможет ничего поделать.

Предположим, что обоим абонентам известны некоторые два числа g и p (например, они могут быть «зашиты» в программное обеспечение), которые не являются секретными и могут быть известны также другим заинтересованным лицам. Для того, чтобы создать неизвестный более никому секретный ключ, оба абонента генерируют большие случайные числа: первый абонент – число a, второй абонент – число b. Затем первый абонент вычисляет значение A = g^amod p и пересылает его второму, а второй вычисляет B = g^bmod p и передаёт первому. Предполагается, что злоумышленник может получить оба этих значения, но не модифицировать их (то есть у него нет возможности вмешаться в процесс передачи). На втором этапе первый абонент на основе имеющегося у него a и полученного по сети B вычисляет значение B^amod p = g^abmod p, а второй абонент на основе имеющегося у него b и полученного по сети A вычисляет значение A^bmod p = g^abmod p. Как нетрудно видеть, у обоих абонентов получилось одно и то же число: K = g^abmod p. Его они и могут использовать в качестве секретного ключа, поскольку здесь злоумышленник встретится с практически неразрешимой (за разумное время) проблемой вычисления g^abmod p по перехваченным g^amod p и g^bmod p, если числа p,a,b выбраны достаточно большими.

 

Рис.9 Алгоритм Диффи-Хеллмана

Алгоритм Диффи – Хеллмана, где K – итоговый общий секретный ключ

При работе алгоритма, каждая сторона:

1. генерирует случайное натуральное число a –  закрытый ключ

2. совместно с удалённой стороной устанавливает открытые параметры p и g (обычно значения p и g генерируются на одной стороне и передаются другой), где

· p является случайным простым числом

· g является первообразным корнем по модулю p

3. вычисляет открытый ключ A, используя преобразование над закрытым ключом

A = g^a mod p

4. обменивается открытыми ключами с удалённой стороной

5. вычисляет общий секретный ключ K, используя открытый ключ удаленной стороны B и свой закрытый ключ a

K = B^a mod p

К получается равным с обеих сторон, потому что:

B^a mod p = (g^b mod p)^a mod p = g^ab mod p = (g^a mod p)^b mod p = A^b mod p

В практических реализациях, для a и b используются числа порядка 10¹⁰⁰ и p порядка 10³⁰⁰. Число g не обязано быть большим и обычно имеет значение в пределах первого десятка.

Криптографическая стойкость алгоритма Диффи – Хеллмана (то есть сложность вычисления K=g^ab mod p по известным p, g, A=g^a mod p и B=g^b mod p), основана на предполагаемой сложности проблемы дискретного логарифмирования. Однако, хотя умение решать проблему дискретного логарифмирования позволит взломать алгоритм Диффи – Хеллмана, обратное утверждение до сих является открытым вопросом (другими словами, эквивалентность этих проблем не доказана).

Необходимо отметить, что алгоритм Диффи – Хеллмана работает только на линиях связи, надёжно защищённых от модификации. Если бы он был применим на любых открытых каналах, то давно снял бы проблему распространения ключей и, возможно, заменил собой всю асимметричную криптографию. Однако, в тех случаях, когда в канале возможна модификация данных, появляется возможность атаки человек посередине. Атакующий заменяет сообщения переговоров о ключе на свои собственные и таким образом получает два ключа – свой для каждого из законных участников протокола. Далее он может перешифровывать переписку между участниками, своим ключом для каждого, и таким образом ознакомиться с их сообщениями, оставаясь незамеченным.

Заключение

 

Долгое время традиционной криптографической схемой была схема с симметричным ключом. В этой схеме имеется один ключ, который участвует в шифровании и дешифровании информации. Шифрующая процедура при помощи ключа производит ряд действий над исходными данными, дешифрующая процедура при помощи того же ключа производит обратные действия над кодом. Дешифрование кода без ключа предполагается практически неосуществимым. Если зашифрованная таким образом информация передается по обычному, т.е. незащищенному, каналу связи, один и тот же ключ должен иметься у отправителя и получателя, вследствие чего возникает необходимость в дополнительном защищенном канале для передачи ключа, повышается уязвимость системы и увеличиваются организационные трудности.

В 1976 г. У.Диффи и М.Хеллманом был предложен новый тип криптографической системы – система с открытым ключом. В схеме с открытым ключом имеется два ключа, открытый и секретный, выбранные таким образом, что их последовательное применение к массиву данных оставляет этот массив без изменений. Шифрующая процедура использует открытый ключ, дешифрующая – секретный. Дешифрование кода без знания секретного ключа практически неосуществимо; в частности, практически неразрешима задача вычисления секретного ключа по известному открытому ключу. Основное преимущество криптографии с открытым ключом – упрощенный механизм обмена ключами. При осуществлении коммуникации по каналу связи передается только открытый ключ, что делает возможным использование для этой цели обычного канала и устраняет потребность в специальном защищенном канале для передачи ключа.

С появлением систем с открытым ключом понятие о защите информации, а вместе с ним функции криптографии значительно расширились. Если раньше основной задачей криптографических систем считалось надежное шифрование информации, в настоящее время область применения криптографии включает также цифровую подпись (аутентификацию), лицензирование, нотаризацию (свидетельствование), распределенное управление, схемы голосования, электронные деньги и многое другое. Наиболее распространенные функции криптографических систем с открытым ключом – шифрование и цифровая подпись, причем роль цифровой подписи в последнее время возросла по сравнению с традиционным шифрованием: некоторые из систем с открытым ключом поддерживают цифровую подпись, но не поддерживают шифрование.

Цифровая подпись используется для аутентификации текстов, передаваемых по телекоммуникационным каналам. Она аналогична обычной рукописной подписи и обладает ее основными свойствами: удостоверяет, что подписанный текст исходит именно от лица, поставившего подпись, и не дает самому этому лицу возможности отказаться от обязательств, связанных с подписанным текстом. Цифровая подпись представляет собой небольшое количество дополнительной информации, передаваемой вместе с подписываемым текстом. В отличие от шифрования, при формировании подписи используется секретный ключ, а при проверке – открытый.

Из-за особенностей алгоритмов, лежащих в основе систем с открытым ключом, их быстродействие при обработке единичного блока информации обычно в десятки раз меньше, чем быстродействие систем с симметричным ключом на блоке той же длины. Для повышения эффективности систем с открытым ключом часто применяются смешанные методы, реализующие криптографические алгоритмы обоих типов. При шифровании информации выбирается случайный симметричный ключ, вызывается алгоритм с симметричным ключом для шифрования исходного текста, а затем алгоритм с открытым ключом для шифрования симметричного ключа. По коммуникационному каналу передается текст, зашифрованный симметричным ключом, и симметричный ключ, зашифрованный открытым ключом. Для расшифровки действия производятся в обратном порядке: сначала при помощи секретного ключа получателя расшифровывается симметричный ключ, а затем при помощи симметричного ключа - полученный по каналу зашифрованный текст. Для формирования электронной подписи по подписываемому тексту вычисляется его однонаправленная хэш-функция (дайджест), представляющая собой один короткий блок информации, характеризующий весь текст в целом; задача восстановления текста по его хэш-функции или подбора другого текста, имеющего ту же хэш-функцию, практически неразрешима. При непосредственном формировании подписи, вместо шифрования секретным ключом каждого блока текста секретный ключ применяется только к хэш-функции; по каналу передается сам текст и сформированная подпись хэш-функции. Для проверки подписи снова вычисляется хэш-функция от полученного по каналу текста, после чего при помощи открытого ключа проверяется, что подпись соответствует именно данному значению хэш-функции. Алгоритмы вычисления однонаправленных хэш-функций, как правило, логически тесно связаны с алгоритмами шифрования с симметричным ключом.

Описанные гибридные методы шифрования и цифровой подписи сочетают в себе эффективность алгоритмов с симметричным ключом и свойство независимости от дополнительных секретных каналов для передачи ключей, присущее алгоритмам с открытым ключом. Криптографическая стойкость конкретного гибридного метода определяется стойкостью слабейшего звена в цепи, состоящей из алгоритмов с симметричным и с открытым ключом, выбранных для его реализации.