Бесконечно большие функции

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ

До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.

Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х₀, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.

Например, пусть переменная х принимает значения x ₁= –1, x ₂ = 2, x ₃= –3, …, x _n=(–1) ⁿn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.

Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M.

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство | f(x) - b | < ε.

Обозначают .

Примеры.

1. Используя определение, доказать, что .

Нужно доказать, что при произвольном ε будет выполняться неравенство , как только |x|>M, причем число М должно определяться выбором ε. Записанное неравенство эквивалентно следующему , которое будет выполняться, если |x|> 1 /ε=M. Это и значит, что (см. рис.).

2. Несложно заметить, что .

3. не существует.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.

Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х ≠ a, удовлетворяющих условию | x-a | < δ, имеет место неравенство | f(x) | > M.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→a, то пишут или f(x) →∞ при x→a.

Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x →∞.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .

Примеры.

1. .

2.

 

3. .

4. Функция при x →0 не стремится ни к какому пределу.

 

 

ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента.

Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D.

Примеры.

1. Функция y =sin x, определенная при -∞< x <+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x |≤1 = M.

2. Функция y =x²+2 ограничена, например, на отрезке [0, 3], так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f (3) = 11.

3. Рассмотрим функцию y =ln x при x Î (0; 1). Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x →0 ln x →-∞.

Функция y=f(x) называется ограниченной при x → a, если существует окрестность с центром в точке а, в которой функция ограничена.

Функция y=f(x) называется ограниченной при x→∞, если найдется такое число N> 0, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, функция f(x) ограничена.

Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.

Теорема 1. Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a.

Доказательство. Т.к. , то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при вех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x-a|< δ, выполняется неравенство |f(x) –b|< ε. Воспользовавшись свойством модуля |f(x) – b|≥|f(x)| - |b|, последнее неравенство запишем в виде |f(x)|<|b|+ ε. Таким образом, если положить M=|b|+ ε, то при x→a |f(x)|<M.

Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Приведите пример.

Теорема 2. Если , то функция y=1/f(x) ограничена при x→a.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что при произвольном ε>0 в некоторой окрестности точки a имеем |f(x) – b|< ε. Т.к. |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|, то |b| - |f(x)|< ε. Следовательно, |f(x)|>|b| - ε >0. Поэтому и .