Метод меняющегося среднего

Метод экстраполяции

 

Метод экстраполяции известен также под названием «анализ временных последовательностей» (time series analysis). Временной ряд формируется из последовательности случайных величин, например, объем продаж продукции в день, неделю, месяц и т.д. Метод экстраполяции основывается на предположении, что будущие события полностью определяются прошлыми событиями.

Анализ данных временного ряда, состоящий в анализе изменений измеренных величин, требует выделить четыре составляющие, характеризующие изменчивость:

· тренд,

· случайные колебания.

· сезонные колебания,

· циклические колебания,

 

Тренд. Данную составляющую можно рассматривать в качестве общей направленности изменений (тенденции), вызванных воздействием случайных и неслучайных факторов на протя-женном отрезке времени. Тренд описывает рост или убывание измеряемой величины (рис. 5.1, а).

Случайные колебания (изменения) величин – это флуктуация без скачков. Они сопровождают все виды изменений параметров системы(рис. 5.1).Эти составляющие инициированы случайными событиями, которые при данных условиях могут, как произойти, так и не произойти. Причем имеется определенная вероятность  наступления случайного события. Например, случайные колебания в объеме производства могут быть вызваны следующими причинами: кратковременными отказами оборудования, задержками в поставках материалов, разбалансированностью процесса и др. О причинах случайного события известно, и, как правило, они повторяются. Только нельзя точно предугадать время его наступления и силу. Поэтому определяется вероятность наступления этого события. Случайные колебания система способна погасить при условии, что имеются демпфирующие емкости, резервные мощности, гибкие производства.

Неслучайные колебания – это скачки, внесенные непредсказуемыми событиями, например, отказами оборудования и отключением электроэнергии на продолжительный срок,  низким качеством поставленного материала, отказом поставщика или потребителя и др.

Циклические колебания. Помимо тренда ряда значений, часто очевидно присутствие циклической составляющей (рис. 5.1, б). Эта составляющая показывает цикл колебания относительно тренда для периода свыше одного года. Цикличность колебаний финансовых и экономических показателей часто соответствует циклам деловой активности: резкому спаду, оживленному росту, застою.    

Сезонные колебания (рис. 5.1, в).Многие ряды значений демонстрируют периодичность колебаний на протяжении года и более. Таким образом, сезонные колебания отражают зависимость измеряемой величины от времени года. Их можно вычислить после анализа тренда и циклических колебаний.

 

б

а

в

Рис. 5.1. Характер изменения измеряемой величины (например, объем продаж) по периодам времени

2,2 2,1 2 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7

Построение линейного тренда

Наиболее часто тренд представляется линейной зависимостью исследуемой величины вида (рис. 5.3):  

      (5.1)

где

y – исследуемая переменная (например, производительность) или зависимая переменная;

x – число, определяющее позицию (второй, третий и т.д.) года в периоде прогнозирования или не-зависимая переменная.

 

При линейной аппроксимации связи между двумя параметрами для нахождения эмпирических коэффициентов линейной функции используется наиболее часто метод наименьших квадратов. Суть метода состоит в том, что линейная функция «наилучшего соответствия» проходит через точки графика, соответствующие минимуму суммы квадратов отклонений измеряемого параметра. Такое условие имеет вид:

.                               (5.2)

Уравнения для расчета параметров линейной парной регрессии имеют вид:

                                 (5.3)

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдений).

 

Рис. 5.3. Построение тренда методом наименьших квадратов

Значения констант b и a или коэффициента при переменной Х и свободного члена уравнения определяются по формуле:

а также .                                 (5.4)

В табл. 5.1 приведен пример вычисления линейного тренда по данным [1].

Т а б л и ц а 5.1 Вычисление линейного тренда

Исходные данные		XY	Х 2	Yt
Период времени, X	Объем продажи, Y
1	10	10	1	14,68
2	12	24	4	15,42
3	13	39	9	16,16
4	16	64	16	16,9
5	19	95	25	17,64
6	23	138	36	18,36
7	26	182	49	19,12
8	30	240	64	19,86
9	28	252	81	20,6
10	18	180	100	21,34
11	16	176	121	22,08
12	14	168	144	22,82
∑ = 78	∑ = 225	∑ = 1568	∑ = 650
Среднее 6,5	18,75

 

Уравнение тренда: Y_t  = 13,94 + 0,74 X_t.

Задание 1. Рассчитать показатели продаж на 13, 14 периоды времени.

Метод меняющегося среднего

 

Метод меняющегося среднего успешно применим, если мы можем предположить, что рыночный спрос будет довольно стабильным в данном периоде.

Четырехмесячное меняющееся среднее находят простым суммированием спроса в течение последних четырех месяцев и делением на четыре.

С каждым следующим месяцем текущие месячные данные суммируются с предыдущими данными трех месяцев, а самый ранний месяц вычеркивается. Этот подход сглаживает на кратко­срочном периоде нерегулярности в сериях данных.

Математически простая меняющаяся средняя (которая слу­жит как прогноз спроса на следующий период) определяется фор­мулой

 

где п – это число периодов в меняющейся средней, например, четыре, пять или шесть месяцев назад для четырех-, пяти-, или шестимесячной меняющейся средней.

ПРИМЕР 1

Продажи складских навесов для хранения показаны в средней колонке сле­дующей таблицы. Изменяющаяся средняя за три месяца дана в правой колонке таблицы.

Месяц	Текущие продажи	Изменяющаяся средняя за три месяца
Январь	10
Февраль	12
Март	13
Апрель	16	(10 + 12 + 13) / 3 = 11 2/3
Май	19	(12 + 13 + 16) / 3 = 13 2/3
Июнь	23	(13 + 16 + 19) / 3 =16
Июль	26	(16 + 19 + 23) / 3 = 19 1/3
Август	30	(19 + 23 + 26) / 3 = 22 2/3
Сентябрь	28	(23 + 26 + 30) / 3 = 26 1/3
Октябрь	18	(26 + 30 + 28) / 3 = 28
Ноябрь	16	(30 + 28 + 18) / 3 = 25 1/3
Декабрь	14	(28 + 18 + 16) / 3 = 20 2/3

 

 

Задача 1

Отдел регистрации отеля имеет информацию за последние пять лет. Служба менеджмента отеля хотела бы определить мате­матический тренд числа регистрируемых для проектирования бу­дущего заполнения отеля. Это поможет определить стратегию развития отеля. Имеется ряд временных серий данных, позволя­ющих построить уравнение регрессии числа регистрируемых в отеле по времени. Отсюда следует дать прогноз числа регистриру­емых в 1994 г. Число регистрируемых в отеле постояльцев дано в. тысячах:

1984 г.: 17;

1985 г.:16;

1986 г.: 16;

1987 г.: 21;

1988 г.: 20;

1989 г.: 20; 

1990 г.:23; 

1991г.: 25;

1992 г.: 24.

Задание 1. Построить тренд продаж. Датьпрогноз числа регистриру­емых в 1994 г

Задание 2. Рассчитать прогноз на 1994 год методом меняющегося среднего

 

Задача 2.

Президент компании решает, строить или нет промышленноепредприятие. Его решения сведены в следующую таблицу:

Варианты	Благоприятный рынок, $	Неблагоприятный рынок, –$
Строить большой завод	400000	300000
Строить малый завод	80000	10000
«Ничего не делать»	0	0
Вероятность	0.4	0.6

а) Постройте дерево решений.

б) Определите лучшую стратегию, используя критерий EMV.

 

Задача 3. Частный предприниматель имеет возможность установить у себя больше оборудования.

 

Его альтернативы показаны в следую­щей таблице:

Оборудование	Благоприятный рынок, $	Неблагоприятный рынок, –$
D1	300000	200000
J	250000	100000
TX	75000	18000
Вероятности состояний природы	0.50	0.50

 

Этот предприниматель всегда был готов принимать очень оптимистичные решения.

а) К какому типу решений предприниматель обратится?

б) Какой критерий решения он будет использовать?

в) Каков лучший вариант?